Laboratoire de Mathématiques de Besançon - UMR 6623 CNRS
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Journée des Jeunes Chercheurs : Processus ARMA faibles à courte et longue mémoire.

par Rougnant Marine - publié le

Youssef Esstafa
(LMB)


Pour la modélisation des séries temporelles (ou séries chronologiques), la classe des modèles ARMA (en anglais"AutoRegressive Moving-Average") occupe une place centrale. Ces modèles sont généralement utilisés avec des hypothèses fortes sur le bruit limitant leur généralité. Ainsi nous appellerons modèles ARMA forts, les modèles standards dans lesquels le terme d’erreur est supposé être une suite i.i.d (indépendante et identiquement distribuée). Par opposition, nous parlerons de modèles ARMA faibles, quand les hypothèses sur le bruit sont moins restrictives. Relâcher cette hypothèse d’indépendance permet d’élargir le champ d’application des modèles ARMA pour lesquels de nombreux travaux ont montré que les ARMA forts sont mal adaptés. Ceci permet aussi aux modèles ARMA faibles de couvrir une large classe de processus non linéaires.


Le problème qui nous préoccupera sera l’analyse statistique des modèles ARMA faibles : les estimateurs des paramètres des modèles ARMA faibles suivent une loi asymptotiquement normale, centrée et de matrice de variance qui a une forme "Sandwich". Cette matrice de variance est constituée de deux matrices d’information de Fisher, et peut être très différente de la matrice de variance asymptotique obtenue dans la cas fort, qui contient une seule matrice d’information de Fisher. Cette différence d’écriture de la matrice de variance asymptotique se révèle très cruciale dans la suite de l’étude.


L’une des matrices de l’information de Fisher dans le cas ARMA faible est une série qui est en fonction de moments d’ordre quatre du bruit. En supposant l’existence de cette série de moments d’ordre quatre, on parlera de modèles ARMA à mémoire courte et de modèles ARMA à mémoire longue dans la cas contraire.


Par conséquent, les logiciels de prévisions actuellement disponibles qui utilisent la méthodologie de Box et Jenkins ne conviennent pas aux ARMA faibles. Il faudrait alors adapter les sorties de ces logiciels.