Laboratoire de Mathématiques de Besançon - UMR 6623 CNRS
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Séminaire d’Analyse Numérique et Calcul Scientifique

par Alexei Lozinski - publié le , mis à jour le

Le séminaire a lieu le jeudi, à 11h, en salle 316 du bâtiment de
Métrologie (plan d’accès).

Vous trouverez ci-dessous le planning du séminaire
d’Analyse Numérique et Calcul Scientifique pour l’année universitaire en cours.

Pour contacter le responsable (Alexei Lozinski) :
alexei.lozinski@univ-fcomte.fr.

Exposés à venir :

  • Jeudi 15 novembre 2018, à 11h : Nikola Stoilov (IMB, UBFC)
    Electric Impedance Tomography
    Electric Impedance Tomography (EIT) is a medical imaging technique that uses the response to voltage difference applied outside the body to reconstruct tissue conductivity. As different organs have different impedance, this technique makes it possible to produce images of the bodywithout exposing the patient to potentially harmful radiation. In mathematical terms, EIT is what is a nonlinear inverse problem, whereby data inside a given domain is recovered from data on its boundary. Such problems also belong to the area of Integrable Systems, which deals with nonlinear problems for which analytic solutions can be found, thus providing us with a mathematical framework for reconstructing images from the electrical information created by EIT. I will discuss the design of numerical algorithms based on spectral collocation methods that address D-bar problems found in both integrable systems and medical imaging. Successfully implementing these methods in EIT on modern computing architectures should allow us to achieve images with much higher resolutions at reduced processing times.
  • Lundi 19 novembre 2018, à 10h : Konstantinos Kalimeris (University of Cambridge)
    Asymptotic methods for computing large amplitude water waves
    Asymptotic methods have a long and illustrious history in a plethora of categories both in pure and applied mathematics. The theoretical tools of asymptotic analysis provide the appropriate background for the development of methods for studying problems originated from the real world ; furthermore, these methods find several applications in physical problems.
    In this talk we emphasise their application to partial differential equations which model certain problems of fluid dynamics. First, we use techniques from asymptotic analysis and perturbation theory to obtain approximate analytical and numerical solutions of a non-linear boundary value problem which comes from the Euler’s equations for fluids and describes two dimensional water waves travelling at constant speed. Second, we derive a non-local formulation for a more general modelling of water waves, including waves with moving boundaries which are related with the study of tsunamis ; we present analytical and computational results that the above techniques produce for particular cases of this problem.
  • Jeudi 22 novembre 2018, à 11h : Omar Lakkis (University of Sussex)
    Titre à venir

Exposés passés :

  • Jeudi 9 novembre 2017 : Christian Klein (Institut de Mathématiques de Bourgogne)
    Multi-domain spectral methods for Green’s functions for the Maxwell equations in matter

    We present a multi-domain spectral approach for the Maxwell equations in matter with a Sommerfeld radiation condition at infinity. The situation to be studied is a conductor in a matter distribution. We concentrate here on an axisymmetric situation where the boundaries of conductor and matter are formed by spherical shells. For the time dependence, a mode analysis is used, i.e., after a Fourier transformation in time the frequency is treated as a parameter in the equations. The Maxwell equations for this situation are formulated in spherical coordinates, the matter is characterized by a diecletric function.
    In the numerical approach, the angular dependence is treated via a Chebychev collocation method in physical space. The axis is singular in this setting, thus no boundary conditions are needed there. For the radial dependence we introduce three domains, the first inside the conductor, the second between conductor and the boundary of the matter, the third in vacuum. Each of these domains in the radial coordinate is mapped to the interval [-1,1], in the last one we use $1/\rho$ as a coordinate thus compactifying the outer domain. This compactification allows the treatment of infinity as a point on the grid. In each domain we use a Chebychev collocation method in coefficient space. The Sommerfeld condition is imposed by writing the fields as an outgoing wave times a function and solving only for the latter. This allows for an exact implementation of the Sommerfeld condition at infinity which is a singular point of the equation. At the domain boundaries, the usual boundary conditions for the Maxwell equations are imposed via a tau method.

  • Jeudi 25 janvier 2018 à 11h : Guillaume Drouet (EDF)
    Une méthode de contact locale de type mortar, des équations aux applications industrielles.
    La méthode des éléments finis est souvent utilisée pour approcher les problèmes de contact. De tels problèmes montrent une condition aux limites non-linéaire, ce qui nécessite que la solution U soit négative sur une partie de la frontière du domaine Ω. Cette non-linéarité conduit à une formulation faible écrite comme une inégalité variationnelle qui admet une solution unique. La régularité de la solution présente des limites quelle que soit la régularité des données. Une conséquence est que seules les méthodes par éléments finis d’ordre un et d’ordre deux sont intéressantes.
    Dans ce travail nous nous intéressons aux problèmes de contact de deux corps dont les maillages respectifs ne coïncident pas sur l’interface de contact en utilisant des éléments finis d’ordre un et deux en 2D et 3D. Dans ce cas, il est maintenant connu que les conditions de contact locales de type noeud-segment ne sont pas satisfaisantes par rapport à des approches plus globales inspirées de la méthode de décomposition de domaine mortar adaptée aux problèmes de contact. Mais, ces approches plus globales sont la plupart du temps compliquées à mettre en œuvre de manière générique dans un logiciel industriel FEM. Le but de ce travail est de définir une méthode locale facile à implémenter qui soit aussi efficace que les approches mortar standards, la méthode Local Average Contact (LAC).
    Cette approche gère localement la contrainte de contact en moyenne sur les mailles d’un macro-maillage bien définie indépendamment de la dimension spatiale et du degré et du type des éléments finis. La méthode LAC peut être vue comme une méthode de Lagrange dans laquelle le multiplicateur représentant la pression de contact est constant par morceaux indépendamment du degré (un ou deux) des éléments finis choisis pour les déplacements. Cette méthode satisfait alors la condition inf-sup grâce à la définition du macro-maillage. Dans ce travail, nous montrons que la méthode fournit des résultats de convergence optimaux dans la norme énergétique dans le cas général de mailles non-compatibles et combine donc les avantages de la localité tout en étant aussi efficace que l’approche mortar standard. La localité est un point clé pour implémenter efficacement de manière générique sur tous les éléments la méthode sur le logiciel FEM ciblé. Nous présentons plusieurs expériences numériques, académiques et industrielles, les résultats sont obtenus avec la mise en œuvre de la méthode dans la version officielle du code open-source FEM code_aster.
  • Lundi 5 février 2018 à 11h : Olga Gorynina (LMB)
    Salle 324B-1
    A posteriori error estimates for the wave equation
    We present the a posteriori error estimates for the linear second-order wave equation discretized by the second order Newmark scheme in time and the finite element method in space. We adopt the particular choice for the parameters in the Newmark scheme, namely β=1/4 , γ=1/2, since it provides a conservative method with respect to the energy norm. We derive a posteriori error estimates of optimal order in time and space for the fully discrete wave equation. The error is measured in a physically natural norm : H^1 in space, L^∞ in time. Numerical experiments demonstrate that our error estimators are of optimal order in space and time. The resulting estimator in time is referred to as the 3-point estimator since it contains the discrete solution at 3 points in time. The 3-point time error estimator contains the Laplacian of the discrete solution which should be computed via auxiliary finite element problems at each time step. We propose an alternative time error estimator that avoids these additional computations. The resulting estimator is referred to as the 5-point estimator since it contains the fourth order finite differences in time and thus involves the discrete solution at 5 points in time at each time step. We prove that our time estimators are of optimal order at least on sufficiently smooth solutions, quasi-uniform meshes in space and uniform meshes in time. The most interesting finding of this analysis is the crucial importance of the way in which the initial conditions are discretized : a straightforward discretization, such as the nodal interpolation, may ruin the error estimators while providing quite acceptable numerical solution. We also extend the a posteriori error analysis to the general second order Newmark scheme (γ=1/2) and present numerical comparasion between the general 3-point time error estimator and the staggered grid error estimator proposed by Georgoulis et al. In addition, using obtained a posteriori error bounds, we implement an efficient adaptive algorithm in space and time. We conclude with numerical experiments that show that the manner of interpolation of the numerical solution from one mesh to another plays an important role for optimal behavior of the time error estimator and thus of the whole adaptive algorithm.
  • Jeudi 15 mars 2018, à 11h : Fabien Vergnet (Université Paris-Sud)
    Structures actives dans un fluide visqueux

    Le déplacement de micro-organismes dans des fluides biologiques est un problème d’interaction fluide-structure, qui peut se modéliser mathématiquement par un système d’équations aux dérivées partielles : les équations de Stokes pour le fluide et celles de l’élasticité non-linéaire pour les structures. La spécificité de ces structures biologiques est d’être capables de ce déformer d’elles-mêmes, grâce à des moteurs internes. Cela se traduit mathématiquement par l’ajout d’un tenseur d’activité dans les équations de l’élasticité. Néanmoins, nous verrons que toutes les déformations ne sont pas efficaces, notamment à cause du caractère visqueux des fluides biologiques. L’exposé fera un tour d’horizon de l’interaction fluide-structure à bas nombre de Reynolds, de la modélisation des structures actives, ainsi que de la résolution numérique de ce problème couplé.

  • Jeudi 26 avril 2018 à 11h : Roberta Tittarelli (FEMTO-ST, ENSMM)
    Deux estimateurs d’erreur a posteriori équilibrés en électromagnétisme

    Dans cet exposé nous presentons deux estimateurs d’erreur a posteriori pour la simulation par éléments finis des courants de Foucault en régime harmonique. Ces estimateurs ont été développés pour le code de calcul à vocation industrielle code_Carmel car dans les applications, en ayant solutions peu régulières à cause par exemple des singularités des domaines géometriques, l’ordre optimale de convergence attendu par l’analyse a priori est souvent degradé. Une te chnique pour restaurer l’ordre de convergence consiste à adaptater localement le maillage à l’aide des estimateurs d’erreur a posteriori. Nous construisons alors deux estimateurs de type équilibré afin d’estimer l’erreur de discretisation en norme énergetique. Le premier est basé sur une formulation duale du système primal, pour cela il estime l’erreur due à la discrétisation des deux problèmes duaux. Le deuxième est construit uniquement à partir de la solution numérique du problème primal, en appliquant une technique de reconstruction des flux du champ de courant, donc il estime uniquement l’erreur de discrétisation du problème primal. Nous montrons ensuite l’équivalence de chaque estimateur avec l’erreur et la validation numérique des résultats théoriques. Pour conclure nous testons la performance des deux estimateurs équilibrés sur un cas test physique et les comparons avec des estimateurs de type résiduel en vue d’une implémentation d’un algorithme de remaillage automatique.

  • Lundi 7 mai 2018 à 15h, salle 309B : Félix del Teso (NTNU)
    Discretizations of fractional powers of the Laplacian in bounded domains
    Il s’agit d’un séminaire commun avec l’équipe EDP. Le résume peut être consulté sur la page du séminaire EDP.
  • Jeudi 17 mai 2018 à 11h : Frédéric Hecht (LJLL, Sorbonne-Université)
    Brain imaging with FreeFem++
    Joint work with Pierre Jolivet, Frédéric Nataf, Pierre-Henri Tournier (LJLL, UMPC, Sorbonne Universités, Paris, France) and Victorita Dolean (Department of Mathematics and Statistics, University of Strathclyde, Glasgow, United Kingdom)
    Teaser : Microwave tomography is a novel imaging modality holding great promise for medical applications and in particular for brain stroke diagnosis. We demonstrated on synthetic data the feasibility of a microwave imaging technique for the characterization and monitoring of strokes. Using high performance computing, we are able to obtain a tomographic reconstruction of the brain in less than two minutes.
    Our work demonstrates on synthetic data the feasibility of a microwave imaging technique for the characterization of CVAs, and won our research team the Bull-Joseph Fourier Prize in 2015. The numerical framework is based on high-performance computing open-source tools developed by our research team : the HPDDM library[1](L1) is an efficient parallel implementation of Domain De- composition Methods (DDM) and is interfaced with the finite element software FreeFem++[2](L2). Our work was carried out in collaboration with EMTensor, an Austrian innovative SME dedicated to biomedical imaging and is based on their BRain IMaging Generation1 (BRIMG1) prototype[3].
    In this colloquium, I will present this problem and how to solve it, and I make a short overview of FreeFem++ with some real time tests on classical PDE ( Poisson, Navier-Stokes, Elasticy, ...).

    References
    [1] P. Jolivet, F. Hecht, F. Nataf and C. Prud’homme, ”Scalable Domain Decomposition Preconditioners for Heterogeneous Elliptic Problems”, International Conference on High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis, 2013
    [2] F. Hecht, ”New development in FreeFem++”, J. Numer. Math. 20, 2012
    [3] S. Semenov, B. Seiser, E. Stoegmann, and E. Auff, ”Electromagnetic tomography for brain imaging : from virtual to human brain”, IEEE Conference on Antenna Measurements & Applications (CAMA), 2014

    Links
    [L1] https://github.com/hpddm/hpddm
    [L2] http://www.freefem.org/ff++

    Support
    This work was granted access to the HPC resources of TGCC@CEA under the allocations 2016-067519 and 2016-067730 made by GENCI. Authors would like to thank the French National Research Agency (ANR) for their support via the MEDIMAX grant whose PI is C. Pichot (LEAT, CNRS, France).

  • Mardi 10 juillet 2018 à 11h : Julia Charrier (Aix Marseille Université)
    Analyse numérique d’EDP elliptiques à coefficients aléatoires de type lognormal
    Dans cet exposé on s’intéressera à des méthodes numériques pour des EDP elliptiques à coefficients lognormaux. L’intérêt pour ce type de modèle est motivé par des applications à l’étude des écoulement en milieux poreux en présence d’incertitudes.
    De manière plus générale on verra comment résoudre les difficultés apparaissant lorsqu’on considère des coefficients aléatoires non uniformément bornés et coercifs par rapport au paramètre aléatoire, potentiellement peu réguliers spatialement et dépendant de manière non-affine des paramètres aléatoires. On s’intéressera dans ce cadre à la fois à l’estimation de l’erreur provenant de l’approximation du coefficient dans un espace stochastique de dimension finie, qui est une question clé pour les méthodes de collocation stochastique entre autres, à l’estimation d’erreur éléments finis et à l’analyse numérique d’une méthode de Monte-Carlo multi-niveaux.
    Ces travaux ont été effectués en collaboration avec Robert Scheichl, Aretha Teckentrup et Arnaud Debussche.
  • Jeudi 19 octobre 2017, à 11h : Samuel Dubuis (EPFL)
    Reporté sine die
    An adaptive algorithm for the time dependent transport equation with anisotropic finite elements and the Crank-Nicolson scheme

    The time dependent transport equation is solved with stabilized continuous, piecewise linear finite elements and the Crank-Nicolson scheme [1]. Finite elements with large aspect ratio are advocated in order to account for boundary layers. The error due to space discretization has already been studied in [2]. Here, the error due to the use of the Crank-Nicolson scheme is taken into account. Anisotropic a priori and a posteriori error estimates are proved. The a posteriori upper bound is obtained using a quadratic reconstruction in time as in [3].
    The quality of the error estimator is first validated on non adapted meshes and constant time steps. An adaptive algorithm in space and time is then proposed, with goal to build a sequence of anisotropic meshes and time steps, so that the final error is close to a preset tolerance. Numerical results on adapted, anisotropic meshes and
    time steps show the efficiency of the method.

    [1] E. Burman, Consistent SUPG-method for transient transport problems : Stability
    and convergences, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 199 (2010).
    [2] Y. Bourgault and M. Picasso, Anisotropic error estimates and space adaptivity for a semidiscrete finite element approximation of the transient transport equation SIAM J. Sci. Comput., 35 (2013).
    [3] A. Lozinski, M.Picasso and V. Prachittham, An anisotropic error estimator for the Crank-Nicolson method : application to a parabolic problem, SIAM J. Sci. Comput., 31 (2009).

  • Lundi 9 avril 2018 à 11h : Tahar Zamène Boulmezaoud (Université de Versailles -Saint Quentin)
    Reporté sine die
  • Jeudi 11 octobre 2018, à 11h : Yassine Zaim (ISIFC)
    Approximation par éléments finis conformes et non conformes enrichis
    L’enrichissement des éléments finis standard est un outil performant pour améliorer la qualité d’approximation. L’idée principale de cette approche est d’ajouter aux fonctions de base un ensemble de fonctions censées améliorer la qualité des solutions approchées. La clé de succès de cette dernière repose principalement sur le bon choix des fonctions de base et plus particulièrement celui des fonctions d’enrichissement. Une question importante se pose alors : quelles conditions faut-il imposer sur les fonctions d’enrichissement afin qu’elles génèrent des éléments finis bien définis ? La réponse de cette question sera présentée dans première partie de mon exposé, où je vais présenter une approche générale d’enrichissement d’éléments finis. Le but principal de cette dernière est de prendre en entrée un élément fini standard et de produire en sortie un élément fini enrichi, susceptible de donner une approximation meilleure. Cette approche a conduit à l’obtention des extensions de l’élément de Han, l’élément de Rannacher-Turek et l’élément de Wilson, qui sont vachement utilisés dans de nombreuses applications.
    La deuxième partie de la présentation sera consacrée à la mise en pratique de notre approche à travers l’utilisation de l’un des derniers éléments, plus précisément l’élément du type Wilson, pour résoudre numériquement le problème d’élasticité linéaire dans un maillage rectangulaire. L’analyse de l’erreur d’approximation et de consistance sera aussi présentée. Je vais montrer également comment l’erreur de consistance peut ˆetre établie à n’importe quel ordre, généralisant ainsi certains travaux menés dans le domaine. Finalement, je vais présenter les tests numériques établis à l’aide de la bibliothèque libre GetFEM++, version 5.0, pour valider nos résultats théoriques et pour montrer comment notre approche permet d’élargir la gamme de choix des fonctions d’enrichissement.
  • Jeudi 18 octobre 2018, à 11h : Geneviève Dusson (l’Université de Warwick)
    A posteriori error estimates for eigenvalue problems arising from electronic structure calculations
    Mathematical models involved in the determination of electronic structures often require to solve nonlinear eigenvalue problems, which are computationally very costly. Hence approximations have to be resorted to. Among these approximations can be found : the chosen model, the chosen discretization, and the chosen (iterative) algorithm. For a given approximation, the a posteriori analysis, once it is performed, provides a guaranteed upper bound on the total error. It may also enable to separate error components stemming from the different sources of approximation and control each of them. This makes possible to iteratively fit the approximation parameters leading to small errors at low computational cost.
    In this talk, I will first present an a posteriori error estimation for the eigenvectors and eigenvalues of a Schrödinger-type linear eigenvalue problem. The a posteriori bounds are guaranteed, fully computable, and converge with optimal speed to the given exact eigenvalues and eigenvectors of the problem. These bounds are valid under very few assumptions that can be checked numerically. Numerical simulations confirm the efficiency of the bounds.
    In a second part, I will illustrate how these estimations on linear eigenvalue problems can be used for the error estimation of nonlinear eigenvalue problems, appearing in electronic structure calculations.

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