Laboratoire de Mathématiques de Besançon - UMR 6623 CNRS
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Borne sur la torsion des variétés abéliennes et conjecture de Mumford-Tate

par Rougnant Marine - publié le

Victoria Cantoral-Farfan
(Université Paris 7)


Le théorème de Mordell-Weil affirme que pour toute variété abélienne $A$ définie sur un corps de nombres $K$ le groupe des points $K$-rationnels est de type fini, \emphi.e. $A(K)=A(K)_{tors}\times \mathbb{Z}^r$ , où $A(K)_{tors}$ correspond au sous-groupe fini des points de torsion définis sur $K$.
C’est naturel de se demander si on peut obtenir une borne uniforme pour $|A(L)_{tors}|$ , dépendant uniquement du degré $[L:K]$, lorsque la variété abélienne $A$ varie. Cette question est connue comme la conjecture de la borne uniforme. Ou bien, on peut aussi se demander si on peut obtenir une borne de $|A(L)_{tors}|$ qui dépend uniquement du degré $[L:K]$ lorsque l’extension $L/K$ varie et la variété abélienne $A$ est fixée.


L’objectif de cet exposé, sera de vous présenter des nouveaux résultats dans cette deuxième direction. On se concentrera sur la classe de variétés abéliennes de type III pleinement de type Lefschetz (\emphi.e. telle que son groupe de Mumford-Tate soit le groupe des similitudes orthogonales qui commute avec les endomorphismes et telle qu’elle vérifie la conjecture de Mumford-Tate). Bien évidement on donnera un bref historique concernant cette dernière conjecture dans le cas des variétés abéliennes.