Laboratoire de Mathématiques de Besançon - UMR 6623 CNRS
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Phénomène de concentration de mesure et loi semi-circulaire pour les matrices de Wigner

par Petitjean Colin - publié le

Mathieu Fevre
(LMB/Université de Kyoto)


Supposons que l’on ait un grand nombre de matrices aléatoires X1,...,Xn ayant une moyenne et variance en O(1). Que peut-on dire de leur somme X1+...+Xn ? Si les Xi varient dans un intervalle de taille O(1), leur somme varie bien sûr dans un intervalle de taille O(n). Cependant, un remarquable phénomène connu sous le nom de concentration de mesure, affirme que, sous certaines hypothèses d’indépendance entre les Xi, cette somme se concentre dans une intervalle d’une taille beaucoup plus petite, typiquement de taille O(n^1/2). Ce phénomène ne s’applique pas qu’à des expressions linéaires mais s’applique aussi à des expressions non linéaires du type F(X1,...,Xn) pour des fonctions F suffisamment régulières. Dans cet exposé, on quantifiera ce phénomène à l’aide d’inégalités de grandes déviations et l’on verra le lien avec la loi semi-circulaire de Wigner.