Laboratoire de Mathématiques de Besançon - UMR 6623 CNRS
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Séminaires Equations aux Dérivées Partielles

publié le , mis à jour le

Le séminaire a lieu le jeudi à 15 h 00, en salle 316B du bâtiment Métrologie.

Le responsable est Carlotta DONADELLO (carlotta.donadello@univ-fcomte.fr).

Événements à venir :

  • Jeudi 9 novembre 2017 : William Borrelli CEREMADE (Paris-Dauphine) Existence et multiplicité pour certaines équations de Dirac issues de la physique du solide.

Résumé : Ces dernières années, des nouveaux matériaux bidimensionnels aux propriétés surprenantes ont été découverts, le plus connu étant le graphène. Dans ces matériaux, les électrons du niveau de Fermi ont une masse apparente nulle, et peuvent être décrits par l’équation de Dirac sans masse. Un tel phénomène apparaît dans des situations très générales, pour les matériaux bidimensionnels ayant une structure périodique en « nid d’abeille ». De plus, la prise en compte des interactions mène à des équations de Dirac non linéaires. Dans cet exposé je vais présenter des résultats d’existence et multiplicité pour deux modèles, dans le cas critique et sous-critique.

https://arxiv.org/pdf/1709.06387.pdf

https://arxiv.org/pdf/1706.09785.pdf

  • Mercredi 22 et jeudi 23 novembre 2017 : Conférence "Finite volumes schemes and traffic modeling"
  • Jeudi 30 novembre 2017 : Gabrielle Saller Nornberg (Pontifícia Univ. Católica do Rio de Janeiro, Brésil) Quelques résultats de multiplicité et de régularité pour les équations elliptiques complètement non-linéaires avec croissance naturelle dans le gradient

Dans cet exposé, on discutera l’extension de certains résultats de Coster-Jeanjean (2015) sur l’existence de continuums de solutions à une classe plus générale d’équations aux dérivées partielles avec croissance quadratique dans le gradient, complètement non-linéaires, qui utilise de nouveaux outils pour EDPs sous la forme non-divergence dans le contexte de solutions de Lp-viscosité. On parlera aussi d’une généralisation des résultats de régularité de Swiech-Winter pour nos équations, qui apparaît naturellement liée au problème.

  • 11-14 décembre 2017 : conférence "Équations aux dérivées partielles et semi-groupes".
  • Jeudi 18 janvier 2018 : Journée du LMB
  • Jeudi 25 janvier 2018 : séminaire
  • Jeudi 5 avril 2018 : séminaire

Exposés récents

  • Jeudi 28 septembre 2017 Nous avons le plaisir d’accueillir deux orateurs :
  • À 15h : Mathieu Colin (Univ. de Bordeaux) Ondes solitaires et systèmes de Schrödinger.

Résumé : dans cet exposé, nous étudierons l’existence et la stabilité d’ondes solitaires et d’états fondamentaux pour des systèmes de type Schrödinger issus de la physique des plasmas ou qui décrivent l’interaction d’une particule chargée avec un champ électromagnétique. Le but de cette présentation sera aussi d’essayer de mettre en avant la richesse structurelle des systèmes par rapport aux équations scalaires.

  • À 16:30 : Alberto Farina (Univ. d’Amiens) Un résultat de type Bernstein pour l’équation des surfaces minimales

Résumé : We prove the following Bernstein-type theorem : if $u$ is an entire solution to the minimal surface equation, such that $N-1$ partial derivatives $\frac{\partial u }{\partial {x_j}}$ are bounded on one side (not necessarily the same), then $u$ is an affine function. Besides its novelty, our theorem also provides a new, simple and self-contained proof of celebrated results of Moser and of Bombieri $\&$ Giusti.

  • Vendredi 29 septembre à 10h Soutenance de thèse de Tianxiang Gou.

Archive 2016-2017

  • Jeudi 13 octobre 2016 : Lysianne Hari (UBFC) Propagation non-linéaire de paquets d’onde.

Résumé : Dans cet exposé, nous étudierons la propagation d’états cohérents pour un système de deux équations de Schrödinger couplées, dans la limite semi-classique. Les couplages seront induits par une non-linéarité cubique ainsi que par un potentiel matriciel dont les valeurs propres peuvent présenter un "croisement" en un point donné.
Nous nous attacherons à répondre à une question concernant la stabilité de la solution : on considère un état cohérent bien localisé qui "vit" dans un espace propre du potentiel ; à ordre dominant, la solution associée garde-t-elle la même structure bien localisée, et reste-t-elle dans le même espace propre (adiabaticité) ?
Nous étudierons des situations variées pour lesquelles on montrera qu’il y a adiabaticité, et d’autres où des phénomènes de transition ont lieu. Nous ferons un parallèle avec les résultats bien connus du cas linéaire à chaque fois.

  • Jeudi 20 octobre 2016 : Luigi Forcella (Scuola Normale, Pisa) Double Scattering Channels for 1D NLS

We consider a class of nonlinear Schrödinger equations perturbed with a steplike potential. We prove that the nonlinear solutions satisfy the double scattering channels in the energy space. The proof is based on concentration-compactness/rigidity method. This is a joint work with Professor N. Visciglia (University of Pisa).

  • Jeudi 24 novembre 2016 : Mohamed Benyahia (GSSI) A phase transition model in traffic flow modeling

Traffic flow modeling has been an active field of research area in the past decade. Among all traffic flow models two are very well known : the LWR model [4,5] (Lighthill Whitham and Richards) and the ARZ [1,6](Aw Rascle and Zhang). The first one is a first order model, it prescribes an explicit relation between the density and the speed of the cars in the traffic. While very accurate in low density conditions ( conditions that we will refer to as free flow phase) studies show that the traffic is better approximated by a second order model such as ARZ at higher densities ( congested phase ). ARZ model on the other hand present the difficulty of not being well posed at the vacuum ( zero density ), the solution may not depend continuously on the initial data. A phase transition model has been proposed recently in [3] to overcome theses difficulties, and has been studied in [2].

The aim of this talk will be to present this phase transition model along with its point constraint version.

References :

[1] Aw, A., Rascle, M., 2000. Resurrection of “second order” models of traffic flow. SIAM Journal on Applied Mathematics 60 (3), 916–938.
[2] Benyahia, M., Rosini, M. D., 2016. Entropy solutions for a traffic model with phase transitions. Nonlinear Analysis 141 (2016) 167–190
[3] Goatin,P.,2006.The Aw–Rascle vehicular traffic flow model with phase transitions. Mathematical and computer modelling 44 (3), 287–303.
[4] Lighthill,M.,Whitham,G.,1955.On kinematic waves.II. A theory of traffic flow on long crowded roads. In : Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. Vol. 229. pp. 317–345.
[5] Richards, P. I., 1956. Shock waves on the highway. Operations Research 4 (1), pp. 42–51.
[6] Zhang, H., 2002. A non-equilibrium traffic model devoid of gas-like behavior. Transportation Research Part B : Methodological 36 (3), 275–290.

  • Jeudi 1 décembre 2016 : Victor Vilaca Da Rocha (Univ. de Nantes) Effet de battement et scattering modifié pour les systèmes de Schrödinger couplés.

À travers un système de deux équations de Schrödinger cubiques couplées,
nous étudierons différents types de comportements non linéaires que l’on
peut obtenir en EDP. Nous verrons comment le choix de l’espace des
positions influe sur le type de résultat obtenu et sur la méthode employée.
En particulier, nous verrons comment le choix de l’espace produit RxT
apparaît de façon naturelle, et comment ce choix nous permet de
construire des couples de solutions qui échangent de l’énergie (effet de
battement) en temps infini.

  • Jeudi 15 décembre 2016 : Pierre-Damien Thizy (Univ. de Cergy-Pontoise) Analyse de blow-up pour l’équation de Moser-Trudinger.

On commencera par introduire l’équation (elliptique) de Moser-Trudinger avec une non-linéarité exponentielle critique. On donnera notamment des motivations variationnelles et les principaux résultats existants sur le sujet. Enfin, on présentera notre résultat, obtenu en collaboration avec Olivier Druet, sur l’analyse de blow-up pour cette équation. Ce résultat répond à des questions posées par Adimurthi-Struwe, Druet, Martinazzi-Malchiodi, et Del Pino-Musso-Ruf.

  • Jeudi 5 janvier 2017 : Journée du Laboratoire de Mathématiques de Besançon
  • Jeudi 19 janvier 2017 : Simona Rota Nodari (Univ. de Dijon) Stabilité orbitale pour les EDP Hamiltoniennes avec symétries

Résumé : Dans cet exposé, je décrirai la méthode « énergie-moment » pour la démonstration de la stabilité orbitale des équilibres relatifs de systèmes dynamique hamiltoniens en dimension infinie, en présence d’un groupe de symétries multidimensionnel. Plus précisément, je montrerai que la preuve de la stabilité orbitale peut être réduite à un estimé de coercivité pour un lagrangien bien choisi et j’illustrerai comment cet estimé peut être obtenu dans le cas d’un groupe de symétries multidimensionnel. La théorie sera appliquée à la stabilité orbitale des ondes planes pour un système d’équations de Schrödinger non-linéaires sur le tore. (Travaux en collaboration avec Stephan De Bièvre et François Genoud)

  • Jeudi 26 janvier 2017 : Iván Moyano (LJLL, Univ. Pierre et Marie Curie) Résultats de contrôlabilité pour quelques équations cinétiques collisionnelles et non collisionnelles : Fokker-Planck, Vlasov et Boltzmann
  • Jeudi 9 mars 2017 : Alexandre Boritchev (Univ. de Lyon 1) Turbulence et estimations précises pour l’équation de Burgers en 1d, en multi-d et pour une dissipation fractionnaire

Résumé : La théorie de Kolmogorov contenue dans ses 3 célèbres articles
écrits en 1941 (K41) est en quelque sorte le point de départ pour
tous les modèles de la turbulence. Cependant, les prédictions dans
K41 ou dans les corrections à ce modèle n’ont pas pu être confirmées
ou infirmées analytiquement, du fait de l’immense complexité du
problème.
Ici, nous nous intéressons au modèle simplifié le plus connu pour
l’équation de Navier-Stokes 3d : l’équation de Burgers (en 1d, en multi-d ou
avec un Laplacien fractionnaire). Pour ce modèle, nous obtenons des estimées
pour les normes de Sobolev puis pour les quantités à petite échelle
(spectre, incréments) des estimées pertinentes pour la théorie
de la turbulence. Tous ces résultats sont optimaux (les bornes inférieures
et supérieures coïncident à une constante multiplicative près quand
la viscosité tend vers 0).

  • Jeudi 6 avril 2017 : David Seifert (Univ. de Oxford) Quantified asymptotic behaviour of operator semigroups

It is known from the Gearhart-Prüss theorem that a C0-semigroup on a Hilbert space is uniformly exponentially stable if and only if the resolvent of the semigroup generator exists and is uniformly bounded on the right half-plane. This result has many applications in the asymptotic theory of PDEs, and for instance can be used to show that mild solutions of the damped wave equation have exponentially decaying energy for arbitrary initial conditions if and only if the damping region satisfies the so-called Geometric Control Condition (GCC). If the GCC fails, the resolvent is unbounded on the right half-plane and one can only hope to obtain rates of energy decay for certain initial conditions. In this talk I shall discuss several recent results in the theory of C0-semigroups which provide rates of decay for particular semigroup orbits under suitable growth conditions on the resolvent of the generator. Part of the talk is based on joint work with Ralph Chill (Dresden).

  • Jeudi 11 mai 2017 : Giuseppe Negro (Univ. de Paris 13) Stabilité pour des inégalités de Strichartz optimales pour l’équation des ondes

Les solutions de l’équation des ondes linéaires vérifient des
inégalités dispersives, dites inégalités de Strichartz. Les meilleures
constantes et les fonctions extrémales de certaines de ces inégalités
ont été calculées, notamment en dimension 3 par Foschi et en dimension
5 par Bez & Rogers.

Dans cet exposé, on montrera que ces inégalités de Strichartz
optimales sont "stables". Cela signifie qu’il est possible de les
raffiner en ajoutant un terme additionnel qui s’annule sur les
fonctions extrémales. La méthode de démonstration se fonde largement
sur la compactification conforme de l’espace-temps de Minkowski donné
par la transformation de Penrose.

Comme application, on calculera un développement de Taylor de la norme
de Strichartz maximale pour l’équation des ondes non-linéaire (NLW) à
énergie critique en dimension 5, autour de la solution nulle. Cette
analyse est inspirée par le travail analogue fait par Duyckaerts,
Merle et Roudenko pour l’équation de Schrödinger non linéaire de masse
critique.

Ces résultats font partie de ma thèse doctorale (pas encore achevée)
dirigé par Thomas Duyckaerts et Keith Rogers.

  • Jeudi 1 juin 2017 : Ahmed Rejaiba Équations de Stokes et de Navier-Stokes avec des conditions aux limites de Navier
resume_Rejaiba
  • Jeudi 8 juin 2017 : Kaïs Ammari (University of Monastir) Stability of an abstract—wave equation with delay and a Kelvin—Voigt damping

Résumé : In this talk we consider a stabilization problem for an abstract wave equation with delay and a Kelvin–Voigt damping. We prove an exponential stability result for appropriate damping coefficients. The proof of the main result is based on a frequency-domain approach.

  • Jeudi 15 juin 2017 : Tianxiang Gou (UBFC) Normalized solutions to a fourth-order nonlinear Schrödinger equation in the mass critical and supercritical regimes.

Résumé : For a fourth-order nonlinear Schrödinger equation, we look for prescribed L2 norm solutions. We deal with the mass critical and mass supercritical nonlinearities. In both case, we study the existence of ground states, of positive bound states and the multiplicity of radial solutions. In addition, we discuss the orbital instability of the ground states.

  • Jeudi 22 juin 2017 : Edda Dal Santo (Univ. dell’Aquila) Decay properties of approximate solutions for the damped semilinear wave equation on a bounded $1D$-domain

Résumé : We consider a semilinear system with space-dependent and nonlinear damping, related to the one-dimensional damped wave equation.
On a bounded interval, with reflecting boundary conditions, we define approximate solutions of ’’well-balanced’’ type.
We aim at obtaining decay estimates of the approximate solution to the stationary one as $t\to\infty$.
Such estimates are in principle qualitatively similar to the ones satisfied by the exact solutions.
This approach exploits some tools from probability (nonhomogeneous discrete Markov chains) and from matrix analysis.
This is a joint work with Debora Amadori and Fatima Aqel (University of L’Aquila, Italy).

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