Laboratoire de Mathématiques de Besançon - UMR 6623 CNRS
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Intersection arithmétique

par ULRICH Michaël - publié le , mis à jour le

Une préoccupation centrale des arithméticiens est la résolution d’équations polynomiales, avec la restriction que les solutions soient entières, ou au moins rationnelles. Actuellement, une idée directrice est de voir l’ensemble des solutions d’une telle équation comme une courbe, et d’utiliser des méthodes géométriques pour déterminer les solutions : par exemple, un seul point à coordonnées rationnelles sur un cercle permet d’obtenir tous les autres en considérant les points d’intersection de ce cercle avec les droites passant par notre point de base.
À l’inverse, l’algèbre enrichit la géométrie et permet d’étudier des surfaces dans un sens plus large que celui communément admis ; par exemple, une courbe définie par une équation polynomiale à coefficients entiers est, sous de bonnes hypothèses, apparentée à une "surface arithmétique", et mon exposé expliquera comment, en développant une théorie de l’intersection sur ces surfaces d’un nouveau genre, on peut obtenir des informations sur la taille de ses points à coefficients entiers.