Laboratoire de Mathématiques de Besançon - UMR 6623 CNRS
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Séminaire et groupe de travail d’Algèbre et Théorie des Nombres

par Armana Cécile, David Agnès - publié le , mis à jour le

  • Le séminaire a lieu le jeudi à 14h en salle 324-2B du bâtiment de Métrologie : plan d’accès.
  • Nous proposons aux orateurs de donner deux exposés de 45 minutes, le premier destiné aux doctorants, le second plus spécialisé. Il est aussi possible de faire un exposé traditionnel d’une heure.
  • Ci-dessous, le programme du séminaire pour l’année 2017-2018. Pour retrouver les exposés des années précédentes : archives.

Exposés et évènements à venir :

Janvier 2018

  • Lundi 15 au vendredi 19 janvier : 10ème Atelier PARI/GP

Évènement organisé conjointement avec l’Institut de Mathématiques de Bordeaux dans le cadre des Conférences du LmB. Voir le site web de l’atelier.

  • Jeudi 25 janvier : Vincent Bosser (Caen)

Sur l'indépendance algébrique des logarithmes $P$-adiques de Carlitz.


Notons $k={\mathbb F}_q(T)$. En 2008, Papanikolas a démontré que si des logarithmes de Carlitz d’éléments de $\bar{k}$ sont linéairement indépendants sur $k$, alors ils sont algébriquement indépendants sur $k$.
Il existe un analogue $P$-adique de cet énoncé, mais qui reste conjectural. On présentera dans cet exposé la conjecture, ainsi que quelques résultats partiels en direction de celle-ci.

Avril 2018

  • Jeudi 5 avril : Jishnu Ray (Orsay)

Iwasawa algebras of $p$-adic Lie groups and Galois representations with open image.


A key tool in the study of algebraic number fields are Iwasawa algebras, originally constructed by Iwasawa in the 1960’s to study the "class groups" of fields, but since appearing in varied settings such as a Lazard’s work on $p$-adic Lie groups and Fontaine’s work on local Galois representations. For a prime $p$, the Iwasawa algebra of a $p$-adic Lie group $G$, denoted by $\mathbb{Z}_p[[G]]$, is a non-commutative completed group algebra of $G$.
In the first part of the talk, we lay the foundation by giving a very explicit description of certain Iwasawa algebras (one such algebra was described by my advisor Clozel). The base change map between the Iwasawa algebras over extensions of $\mathbb{Q}_p$ motivates us to discuss globally analytic p-adic representations following Emerton’s work.
In the second part of the talk, we will discuss about numerical experiments using a computer algebra system which give heuristic support to Greenberg’s $p$-rationality conjecture which affirms the existence of “$p$-rational” number fields with Galois groups $(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})^t$. The $p$-rational fields are algebraic number fields whose Galois cohomology is particularly simple and which are interesting because they offer ways of constructing Galois representations with big open images. We go beyond Greenberg’s work and construct novel Galois representations of the absolute Galois group of $\mathbb{Q}$ with big open images in reductive groups over $\mathbb{Z}_p$ (ex. $\mathrm{GL}(n;\mathbb{Z}_p) ; \mathrm{SL}(n;\mathbb{Z}_p) ; \mathrm{SO}(n;\mathbb{Z}_p) ; \mathrm{Sp}(n;\mathbb{Z}_p)$). We are proving results which show the existence of $p$-adic Lie extensions of $\mathbb{Q}$ where the Galois group corresponds to a certain specific $p$-adic Lie algebra (ex. $\mathfrak{sl}(n); \mathfrak{so}(n); \mathfrak{sp}(2n)$). This relates our work with a more general and classical Inverse Galois problem for $p$-adic Lie extensions.

  • Jeudi 26 avril : Xavier Roblot (Lyon)

Sur la conjecture galoisienne de Brumer-Stark pour les groupes nilpotents.


Soit K/k une extension galoisienne de corps de nombres, la conjecture galoisienne de Brumer-Stark prédit essentiellement que l’élément de Brumer-Stickelberger, élément de l’anneau de groupe construit à partir des valeurs en 0 des fonctions L d’Artin associées à l’extension, annule le groupe de classes de K. Elle généralise au cas non abélien la conjecture (abélienne) de Brumer-Stark énoncée par Tate aux débuts des années 80. Dans cet exposé, j’expliquerai comment on peut déduire la conjecture galoisienne de la conjecture abélienne dans le cas des groupes nilpotents. La preuve passe par une étude de la décomposition des caractères induits de certains sous-groupes et notamment des treillis modulaires qu’on en déduit.

Mai 2018

  • Jeudi 17 mai : Christophe Cornut (Paris)

Des filtrations à la chaîne !


Lorsqu’on y prend goût, on finit par voir des filtrations de Harder-Narasimhan un peu partout. J’expliquerai un formalisme très élémentaire commun à toutes ces constructions, et l’illustrerai avec des exemples tirés de plusieurs domaines représentés à Besançon (théorie de Hodge p-adique, théorie d’Arakelov, et théorie des codes linéaires).

Juin 2018

  • Mardi 5 au vendredi 8 juin : École jeunes chercheurs en théorie des nombres 2018

Évènement organisé dans le cadre des Conférences du LmB. Voir le site web de l’école.

Septembre 2018

  • Jeudi 27 septembre : Stéphane Louboutin (Marseille)

Z-bases d’ordres Galois invariants et questions ouvertes associées

Novembre 2018

  • Lundi 12 au vendredi 16 novembre : Conférence "Arithmétique et fonctions L"

Évènement organisé dans le cadre des Conférences du LmB. Voir le site web de la conférence.

  • Jeudi 22 novembre : Benjamin Smith (Saclay)

Titre à venir

Archives :

Janvier 2017

  • Jeudi 19 janvier : Gabor Wiese (Luxembourg)

Sur les représentations galoisiennes des formes modulaires de Hilbert de poids un en caractéristique p


Dans cet exposé, je vais donner les idées principales de mon travail avec Mladen Dimitrov dans lequel nous démontrons que la représentation galoisienne associée à toute forme modulaire de Hilbert de poids un en caractéristique p et de niveau premier à p est non-ramifiée en p. Ce résultat s’applique notamment à des formes qui ne se relèvent pas en caractéristique zéro, et peut être vu comme la précision d’un aspect du poids dans la généralisation de la conjecture de modularité de Serre aux formes de Hilbert.

Mars 2017

  • Jeudi 9 mars : Filippo Nuccio (Saint-Étienne)

Quotients de nombres de classes dans les extensions diédrales et pro-diédrales de Q


Depuis les premiers travaux de Dirichlet sur les extensions biquadratiques de Q, on sait que certains propriétés des représentations entières du groupe de Galois d’une extensions L/Q se reflètent dans des relations entre les nombres de classes des sous-corps de L. Cela a été généralisé par Brauer et Kuroda, qui ont montré dans les années ’50 comment traduire les propriétés en question en termes analytiques, puis en valeurs numériques qui représentent les nombres de classes : et ceci pour une vaste famille de groupes de Galois, mais au prix d’obtenir des relations peu explicites et faisant intervenir des indices d’unités peu maniables. Suite à leurs travaux, on a cherché à rendre les relations qu’ils trouvaient de plus en plus explicites, au moins dans des cas particuliers et on a atteint des résultats plutôt satisfaisants pour les extensions diédrales L/Q d’ordre 2p, avec p premier impair.
Dans ce travail en commun avec Luca Caputo on généralise les dits résultats aux extensions diédrales d’ordre 2p^n, en simplifiant les preuves, en les rendant purement algébriques tout en se débarrassant des indices d’unités, et on les applique à l’étude de la croissance des nombres des classes dans des extensions pro-dihédrales.

  • Jeudi 16 mars : Elisa Lorenzo García (Rennes)

Sur les premiers à mauvaise réduction des courbes de genre 3 avec CM


Avec la méthode de la multiplication complexe on peut produire des courbes sur des corps finis avec un nombre de points donnés. Un point clé est de contrôler les dénominateurs dans les polynômes de classes pour les calculer par évaluation numérique. Pour les courbes de genre 1, les dénominateurs sont triviaux. Pour le cas de genre 2, ils sont calculés par Lauter et Viray : on doit calculer les premiers de mauvaise réduction de certaines courbes de genre 2 avec CM. Pour le cas de genre 3, la situation est beaucoup plus difficile. La première étape est de contrôler les premiers de mauvaise réduction pour les courbes de genre 3 avec CM. Dans cet exposé on montrera comment le faire en suivant des travaux en collaboration : Bouw et al. 2015, et Kilicer et al. 2017.

  • Jeudi 30 mars : Michel Broué (Paris 7)

Systèmes de racines cyclotomiques (travail en commun avec Ruth Corran et Jean Michel)


Pour chaque groupe de réflexions complexe irréductible, pas nécessairement défini sur $\mathbb{Q}$ (ce serait alors un groupe de Weyl) mais défini sur une extension abélienne $K$ de $\mathbb{Q}$ d’anneau des entiers $\mathbb{Z}_{K}$, nous définissons et classifions les $\mathbb{Z}_K$-systèmes de racines, ainsi que les réseaux de racines et de coracines. Apparait alors un fait surprenant : si le groupe de réflexions est "spetsial", l’ordre du groupe est divisible par la factorielle du rang multiplié par l’indice de connexion, et le reste est constitué des mauvais nombres premiers pour le "Spets" correspondant --- exactement comme pour le cas des groupes de Weyl et de leurs groupes réductifs finis.

Avril 2017

  • Mercredi 5 avril : (deux séances exceptionnelles, de 14h à 16h en salle 316B-bis)

Guoniu Han (Strasbourg)

Irrationality exponents and Hankel determinants

Huan Xiong (Strasbourg)

Some new formulas for integer partitions

  • Jeudi 6 avril : (séminaire à 14h30, exceptionnellement) Bouchaïb Sodaïgui (Valenciennes)

Structure de module galoisien d'anneaux d'entiers et codes cycliques

Soient $k$ un corps de nombres, $\Gamma$ un groupe fini et $Cl(O_k[\Gamma])$ le groupe des classes des $O_k[\Gamma]$-modules localement libres. On note $\mathcal{R}(O_k[\Gamma])$ le sous-ensemble de $Cl(O_k[\Gamma])$ formé par les classes d’anneaux d’entiers $O_N$ d’extensions galoisiennes modérées $N/k$, avec $Gal(N/k) \cong \Gamma$ ; $\mathcal{R}(O_k[\Gamma])$ est appelé l’ensemble des classes galoisiennes réalisables. Nous déterminons $\mathcal{R}(O_k[\Gamma])$, et montrons que c’est un sous-groupe de $Cl(O_k[\Gamma])$, au moyen d’une description utilisant un idéal de Stickelberger et des propriétés de certains codes cycliques, lorsque $k$ contient une racine de l’unité d’ordre premier $p$ et $\Gamma=V \rtimes C$, où $V$ est un groupe élémentaire abélien d’ordre $p^r$ et $C$ est un groupe cyclique d’ordre $m>1$ agissant fidèlement sur $V$ et rendant $V$ un $\mathbb{F}_p[C]$-module irréductible. Ceci généralise et raffine des résultats de Byott, Greither et Sodaïgui [J. reine angew. Math., 601, 2006, 1—27] pour $p=2$, respectivement de Bruche et Sodaïgui [J. Number Theory, 128, (2008), 954—978] pour $p>2$, lesquels couvrent seulement le cas $m=p^r-1$ et déterminent seulement l’image $\mathcal{R}(\mathcal{M})$ de $\mathcal{R}(O_k[\Gamma])$ sous l’extension des scalaires de $O_k[\Gamma]$ à un ordre maximal $\mathcal{M} \supset O_k[\Gamma]$ dans $k[\Gamma]$. Le résultat principal ici généralise donc la description de $\mathcal{R}(O_k[A_4])$ pour le groupe alterné $A_4$ de degré 4 (le cas $p=r=2$) donnée par Byott et Sodaïgui dans [Compositio Math. 141, (2005), 573—582].

  • Jeudi 13 avril : Ramla Abdellatif (Amiens)

Extensions entre modules simples de Iwahori-Hecke pour SL(2,F) en caractéristique naturelle


Soit $p$ un entier premier et soit $F$ un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle $p$ et de corps résiduel fini. En caractéristique $p$, les modules de Iwahori-Hecke d’un groupe réductif $p$-adique apparaissent naturellement dans l’étude des représentations lisses de ce groupe comme espaces de vecteurs invariants sous l’action de pro-$p$-sous-groupes d’Iwahori, et leur compréhension peut apporter des informations utiles sur les représentations sus-mentionnées, qui sont encore bien mal comprises.
Les travaux présentés dans cet exposé s’intéressent plus spécifiquement au cas du groupe spécial linéaire de rang 1. Dans une première partie, nous expliquerons plus précisément les motivations qui les sous-tendent, et rappellerons quelques résultats de classification des modules simples de Iwahori-Hecke de $\mathrm{SL}_2 (F)$. Dans une seconde partie, nous présenterons quelques résultats concernant la compréhension de leurs espaces d’extensions et leurs liens avec la théoriedes représentations modulo $p$ de $\mathrm{SL}_2 (F)$.

Mai 2017

  • Jeudi 4 mai : Philippe et Pierrette Cassou-Noguès (Bordeaux) (deux exposés)

Philippe Cassou-Noguès : G-formes, twists et périodes


Soit $K$ un corps de caractéristique différente de 2 et $G$ un schéma en groupes sur $K$. On peut associer par ”twistage” à toute $G$-forme $q$ et à tout $G$-torseur $T$ une forme $q_T$ de rang égal à celui de $q$. On donnera des formules de comparaison des invariants de Hasse-Witt de ces formes. On appliquera ces formules à l’étude de la forme trace de $L/K$ lorsque $G$ est un schéma en groupes constant et $T$ est associé à une $G$-algèbre galoisienne $L/K$. Plus généralement on comparera les invariants de Hasse-Witt des différentes réalisations d’un objet quadratique d’une catégorie tannakienne. On traitera l’exemple des motifs de Nori. Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec T. Chinburg, B. Morin et M.J. Taylor.

Pierrette Cassou-Noguès : Fibre de Milnor motivique et algorithme de Newton


Après avoir rappellé la définition de la fibre de Milnor motivique introduite par Denef et Loeser, nous donnerons les idées principales pour la calculer à l’aide de l’algorithme de Newton et nous appliquerons le résultat pour généraliser un théorème de Kouchnirenko.

  • Jeudi 11 mai : Bora Yalkinoglu (Strasbourg)

Sur l’analogue elliptique d’une conjecture de Shintani


Dans l’exposé on va expliquer une conjecture ouverte de Shintani qui prédit un lien entre certains valeurs spéciales de la fonction gamma hyperbolique et des extensions abéliennes d’un corps réel quadratique. Ensuite on va expliquer comment la fonction gamma elliptique et l’équation de Yang-Baxter apparaissent naturellement dans la variante elliptique de la conjecture de Shintani, qui concerne la théorie classique de la multiplication complexe pour les corps imaginaires quadratiques et indiquer l’intérêt de cette observation pour le cas d’un corps réel quadratique.

Juin 2017

  • Jeudi 1er juin : Jean Gillibert (Toulouse)

Surfaces elliptiques et jacobiennes de courbes trigonales


On considère une fibration elliptique E sur la droite projective sur un corps k. Si p est un nombre premier, les points d’ordre p de E sont paramétrés par une courbe C munie d’un morphisme de degré p^2-1 vers P^1_k. Nous montrons comment on peut, grâce à la théorie de Kummer, spécialiser les sections de E dans la p-torsion de la jacobienne de C.
Cela permet de construire des courbes dont la jacobienne a beaucoup de p-torsion à partir de courbes elliptiques de grand rang sur k(t).
Une autre conséquence est de fournir une borne sur le rang de E(k(t)), qui est équivalente à celle donnée par l’inégalité d’Igusa quand k est algébriquement clos. Il s’agit d’un travail en commun avec Aaron Levin (MSU).

Agenda

  • Jeudi 22 novembre 14:00-15:30 - Benjamin Smith - INRIA et École Polytechnique

    Sém. ATDN : Benjamin Smith

    Lieu : 324-2B


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