Laboratoire de Mathématiques de Besançon - UMR 6623 CNRS
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Séminaire d’Analyse Numérique et Calcul Scientifique

par alozinski - publié le , mis à jour le

Le séminaire a lieu le jeudi, à 11h, en salle 316 du bâtiment de
Métrologie (plan d’accès).

Vous trouverez ci-dessous le planning du séminaire
d’Analyse Numérique et Calcul Scientifique pour l’année universitaire en cours.

Pour contacter le responsable (Alexei Lozinski) :
alexei.lozinski@univ-fcomte.fr.

Exposés à venir :

  • Jeudi 15 mars 2018, à 11h : Fabien Vergnet (Université Paris-Sud)
    Titre à venir
  • Lundi 9 avril 2018 à 11h : Tahar Zamène Boulmezaoud (Université de Versailles -Saint Quentin)
    Titre à venir
  • Jeudi 19 octobre 2017, à 11h : Samuel Dubuis (EPFL)
    Reporté sine die
    An adaptive algorithm for the time dependent transport equation with anisotropic finite elements and the Crank-Nicolson scheme

    The time dependent transport equation is solved with stabilized continuous, piecewise linear finite elements and the Crank-Nicolson scheme [1]. Finite elements with large aspect ratio are advocated in order to account for boundary layers. The error due to space discretization has already been studied in [2]. Here, the error due to the use of the Crank-Nicolson scheme is taken into account. Anisotropic a priori and a posteriori error estimates are proved. The a posteriori upper bound is obtained using a quadratic reconstruction in time as in [3].
    The quality of the error estimator is first validated on non adapted meshes and constant time steps. An adaptive algorithm in space and time is then proposed, with goal to build a sequence of anisotropic meshes and time steps, so that the final error is close to a preset tolerance. Numerical results on adapted, anisotropic meshes and
    time steps show the efficiency of the method.

    [1] E. Burman, Consistent SUPG-method for transient transport problems : Stability
    and convergences, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 199 (2010).
    [2] Y. Bourgault and M. Picasso, Anisotropic error estimates and space adaptivity for a semidiscrete finite element approximation of the transient transport equation SIAM J. Sci. Comput., 35 (2013).
    [3] A. Lozinski, M.Picasso and V. Prachittham, An anisotropic error estimator for the Crank-Nicolson method : application to a parabolic problem, SIAM J. Sci. Comput., 31 (2009).

Exposés passés :

  • Jeudi 9 novembre 2017 : Christian Klein (Institut de Mathématiques de Bourgogne)
    Multi-domain spectral methods for Green’s functions for the Maxwell equations in matter

    We present a multi-domain spectral approach for the Maxwell equations in matter with a Sommerfeld radiation condition at infinity. The situation to be studied is a conductor in a matter distribution. We concentrate here on an axisymmetric situation where the boundaries of conductor and matter are formed by spherical shells. For the time dependence, a mode analysis is used, i.e., after a Fourier transformation in time the frequency is treated as a parameter in the equations. The Maxwell equations for this situation are formulated in spherical coordinates, the matter is characterized by a diecletric function.
    In the numerical approach, the angular dependence is treated via a Chebychev collocation method in physical space. The axis is singular in this setting, thus no boundary conditions are needed there. For the radial dependence we introduce three domains, the first inside the conductor, the second between conductor and the boundary of the matter, the third in vacuum. Each of these domains in the radial coordinate is mapped to the interval [-1,1], in the last one we use $1/\rho$ as a coordinate thus compactifying the outer domain. This compactification allows the treatment of infinity as a point on the grid. In each domain we use a Chebychev collocation method in coefficient space. The Sommerfeld condition is imposed by writing the fields as an outgoing wave times a function and solving only for the latter. This allows for an exact implementation of the Sommerfeld condition at infinity which is a singular point of the equation. At the domain boundaries, the usual boundary conditions for the Maxwell equations are imposed via a tau method.

  • Jeudi 25 janvier 2018 à 11h : Guillaume Drouet (EDF)
    Une méthode de contact locale de type mortar, des équations aux applications industrielles.
    La méthode des éléments finis est souvent utilisée pour approcher les problèmes de contact. De tels problèmes montrent une condition aux limites non-linéaire, ce qui nécessite que la solution U soit négative sur une partie de la frontière du domaine Ω. Cette non-linéarité conduit à une formulation faible écrite comme une inégalité variationnelle qui admet une solution unique. La régularité de la solution présente des limites quelle que soit la régularité des données. Une conséquence est que seules les méthodes par éléments finis d’ordre un et d’ordre deux sont intéressantes.
    Dans ce travail nous nous intéressons aux problèmes de contact de deux corps dont les maillages respectifs ne coïncident pas sur l’interface de contact en utilisant des éléments finis d’ordre un et deux en 2D et 3D. Dans ce cas, il est maintenant connu que les conditions de contact locales de type noeud-segment ne sont pas satisfaisantes par rapport à des approches plus globales inspirées de la méthode de décomposition de domaine mortar adaptée aux problèmes de contact. Mais, ces approches plus globales sont la plupart du temps compliquées à mettre en œuvre de manière générique dans un logiciel industriel FEM. Le but de ce travail est de définir une méthode locale facile à implémenter qui soit aussi efficace que les approches mortar standards, la méthode Local Average Contact (LAC).
    Cette approche gère localement la contrainte de contact en moyenne sur les mailles d’un macro-maillage bien définie indépendamment de la dimension spatiale et du degré et du type des éléments finis. La méthode LAC peut être vue comme une méthode de Lagrange dans laquelle le multiplicateur représentant la pression de contact est constant par morceaux indépendamment du degré (un ou deux) des éléments finis choisis pour les déplacements. Cette méthode satisfait alors la condition inf-sup grâce à la définition du macro-maillage. Dans ce travail, nous montrons que la méthode fournit des résultats de convergence optimaux dans la norme énergétique dans le cas général de mailles non-compatibles et combine donc les avantages de la localité tout en étant aussi efficace que l’approche mortar standard. La localité est un point clé pour implémenter efficacement de manière générique sur tous les éléments la méthode sur le logiciel FEM ciblé. Nous présentons plusieurs expériences numériques, académiques et industrielles, les résultats sont obtenus avec la mise en œuvre de la méthode dans la version officielle du code open-source FEM code_aster.
  • Lundi 5 février 2018 à 11h : Olga Gorynina (LMB)
    Salle 324B-1
    A posteriori error estimates for the wave equation
    We present the a posteriori error estimates for the linear second-order wave equation discretized by the second order Newmark scheme in time and the finite element method in space. We adopt the particular choice for the parameters in the Newmark scheme, namely β=1/4 , γ=1/2, since it provides a conservative method with respect to the energy norm. We derive a posteriori error estimates of optimal order in time and space for the fully discrete wave equation. The error is measured in a physically natural norm : H^1 in space, L^∞ in time. Numerical experiments demonstrate that our error estimators are of optimal order in space and time. The resulting estimator in time is referred to as the 3-point estimator since it contains the discrete solution at 3 points in time. The 3-point time error estimator contains the Laplacian of the discrete solution which should be computed via auxiliary finite element problems at each time step. We propose an alternative time error estimator that avoids these additional computations. The resulting estimator is referred to as the 5-point estimator since it contains the fourth order finite differences in time and thus involves the discrete solution at 5 points in time at each time step. We prove that our time estimators are of optimal order at least on sufficiently smooth solutions, quasi-uniform meshes in space and uniform meshes in time. The most interesting finding of this analysis is the crucial importance of the way in which the initial conditions are discretized : a straightforward discretization, such as the nodal interpolation, may ruin the error estimators while providing quite acceptable numerical solution. We also extend the a posteriori error analysis to the general second order Newmark scheme (γ=1/2) and present numerical comparasion between the general 3-point time error estimator and the staggered grid error estimator proposed by Georgoulis et al. In addition, using obtained a posteriori error bounds, we implement an efficient adaptive algorithm in space and time. We conclude with numerical experiments that show that the manner of interpolation of the numerical solution from one mesh to another plays an important role for optimal behavior of the time error estimator and thus of the whole adaptive algorithm.

Agenda

  • Jeudi 15 mars 11:00-12:00 - Fabien Vergnet

    Séminaire d’Analyse Numérique et Calcul Scientifique

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