Dans cet exposé, on s’intéressera à deux familles bien connues d’inégalités équivalentes, les inégalités hypercontractives et les inégalités de Sobolev logarithmiques.
Ce vaste sujet a de nombreuses connections et applications à divers domaines mathématiques comme la géométrie différentielle, la théorie de l’information...
On se concentrera sur le point de vue trigonométrique, moins développé mais non moins passionnant que le point de vue gaussien.
En analyse de Fourier classique, le semigroupe de Poisson 
sur le tore est hypercontractif, c’est-à-dire que pour 
on a
Plus généralement, on verra comment ce problème (et son équivalent en terme d’inégalités de Sobolev logarithmiques) se traduit dans le cadre de l’analyse de Fourier sur un groupe discret,
et je présenterai en particulier les résultats obtenus avec Marius Junge, Carlos Palazuelos, Javier Parcet et Éric Ricard pour le groupe libre.