Laboratoire de Mathématiques de Besançon - UMR 6623 CNRS
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Séminaires Equations aux Dérivées Partielles

publié le , mis à jour le

Le séminaire a lieu le jeudi à 15 h 00, en salle 316B du bâtiment Métrologie.

La responsable est Lysianne Hari (lysianne.hari@univ-fcomte.fr).

Événements à venir :

  • Jeudi 6 Juin 2019 : Louis Jeanjean (LMB) Groupe de travail EDP

Exposés passés

  • Jeudi 25 Octobre 2018 : Lydia Ouaili (Univ. de Marseille) Temps minimal de contrôlabilité d’un système parabolique linéaire.

Résumé :

La contrôlabilité d’équations paraboliques couplées a fait l’objet de travaux relativement récents qui ont mis en évidence des phénomènes nouveaux : apparition d’un temps minimal de contrôle, conditions géométriques. Ces phénomènes, connus dans le cas du contrôle d’équations hyperboliques, sont inattendus en contrôle d’équations paraboliques.
Dans cet exposé nous étudierons la contrôlabilité distribuée et la contrôlabilité au bord de deux équations paraboliques. nous commencerons par montrer une condition nécessaire et suffisante de contrôlabilité approchée. nous montrerons sous certaines conditions géométriques l’existence d’un temps minimal de contrôlabilité à zéro. Nous terminerons par montrer qu’on peut atteindre n’importe quel temps minimal pour le contrôle au bord.

  • Jeudi 15 Novembre 2018 : Thierry Daudé (Univ. de Cergy-Pontoise) La frontière entre unicité et invisibilité dans le problème inverse de Calderon.

Résumé :

Le problème de Calderon anisotropique est un modèle générique de "problèmes inverses" qui consiste à déterminer la métrique à l’intérieur d’une variété riemannienne à bord en faisant des mesures seulement sur son bord, plus précisément à partir de la connaissance de l’opérateur Dirichlet à Neumann. Après avoir rappelé quelques résultats classiques sur ce problème dans le cas de variétés riemanniennes lisses ou même analytiques, on étudiera le problème de Calderon pour des variétés riemanniennes de type produit tordu plus singulières. On déterminera notamment la frontière entre des résultats d’unicité et d’invisibilité sur ce type de modèles selon la régularité des métriques considérées. C’est un travail en collaboration avec François Nicoleau (Nantes) et Niky Kamran (Montréal).

Le séminaire aura exceptionnellement lieu en 324-B2.

  • Jeudi 22 Novembre 2018 : Baptiste Morisse (Univ. Cardiff) Systèmes d’EDP faiblement hyperboliques et régularité Gevrey

Résumé :

On considère des systèmes d’EDP du premier ordre, faiblement hyperboliques : le spectre du symbole principal est réel mais des croisements de valeurs propres peuvent se produire. A proximité d’un tel croisement, les termes linéaires d’ordre inférieur peuvent induire une croissance en fréquence typiquement Gevrey. On étudiera des estimations d’énergie en régularité Gevrey en utilisant un symétriseur du symbole principal. Le symbole d’un tel symétriseur appartient à une classe de symboles spécifique, associée à une métrique dans l’espace des phases caractéristique du problème étudié. Pour de tels symboles, la composition des opérateurs associés entraîne des termes d’erreur qui peuvent être contrôler par l’énergie Gevrey.
L’expose se veut auto-contenu et facile d’accès !

  • Jeudi 13 Décembre 2018 : Biagio Cassano (Nuclear Physics Institute of the Czech Academy of Sciences) Sharp rate of exponential decay for eigenfunctions of perturbed Dirac operators

Résumé : We will investigate the rate of exponential decay at infinity for eigenfunctions of the Dirac operator, i.e. solutions to (*)
$$D_n u + V u = Eu$$ in $\R^n$,
where $E \in \R$, D_n is the massless Dirac operator in dimensions $n=2,3$, and V a (possibly non-Hermitian) matrix-valued perturbation such that $|V| \sim |x|^(-e)$ at infinity, with $e < 1$.

We will describe a rigidity property of the equation (*) : if u has a too large exponential decay at infinity, then it has compact support. We will show this result by means of the establishment of the appropriate Carleman estimate for the Dirac operator, and we will provide explicit examples of eigenfunctions that have the prescripted exponential decay at infinity, when the potential has the related decay at infinity : this ensures that our results are sharp. Finally, we will underline the connections and differences with the analogous problem for the Laplace operator.

  • Jeudi 10 Janvier 2019 : Lahcen Maniar (Université de Marrakech)

Résumé :

  • Jeudi 31 Janvier 2019 : Jacek Jendrej (CNRS - Université Paris XIII) Caractérisation de type Lyapunov des dichotomies exponentielles et applications aux EDP

Résumé : On donne une condition suffisante pour l’existence d’une dichotomie exponentielle pour un système dynamique linéaire, en temps continu ou discret, en termes d’existence de fonctionnelles vérifiant certaines propriétés. Comme applications, on considère l’équation de la chaleur retrograde avec un potentiel qui dépend du temps, l’équation de la chaleur avec plusieurs potentiels qui se déplacent à une petite vitesse, ainsi que l’équation de Klein-Gordon avec plusieurs potentiels qui se déplacent avec une petite accélération. Travail en collaboration avec Gong Chen de l’Université de Toronto.

  • Jeudi 24 Janvier 2019 : Journée du LMB

  • Jeudi 7 Février 2019 : Andrew Comech (TAMU & IITP of Russian academy of sciences) ANNULÉ

Résumé : ANNULÉ

  • Jeudi 28 Février 2019 : Antoine Perasso (Chrono-Environnement - UFC) Théorème de Lyapunov et ses variantes ; illustration par une analyse de stabilité globale pour un système d’EDP modélisant une dynamique infectieuse.

Résumé :

  • Jeudi 14 Mars 2019 : Mourad Choulli (IECL - Université de Lorraine) Un théorème de type Borg-Levinson pour l’opérateur de Schrödinger magnétique

Résumé : Je considérerai l’opérateur de Schrödinger magnétique sur une variété riemannienne compacte à bord et je m’intéresserai à la reconstruction du champ magnétique et du potentiel électrique à partir de "données spectrales frontières". Je présenterai des résultats d’unicité et de stabilité pour ce problème. J’expliquerai aussi comment on transforme le problème d’origine à un problème de géométrie intégrale quand on se limite à des variétés dites simples. Mon exposé est préparé à partir d’un travail en collaboration avec Mourad Bellassoued, David Dos Santos Ferreira, Yavar Kian et Plamen Stefanov.

  • Mardi 19 Mars 2019 : Debora Amadori (Université de l’Aquila) GdT CLAWS

Résumé : exposé dans le cadre du groupe de travail autour des lois de conservation.

  • Jeudi 21 Mars 2019 : Mustapha Mokhtar-Kharroubi (LMB - UFC) Compacité ou quasi-compacité de semigroupes d’absorption positifs dans L1 et questions connexes.

Résumé : On étudie les semigroupes positifs à contractions dans les espaces L1 abstraits et qui ne présentent pas a priori de trou spectral. On analyse de manière systématique l’effet "confinant" de l’ajout de potentiels singuliers négatifs. Il s’agit d’une analyse propre aux espaces L1. En particulier, on montre comment le semigroupe perturbé (dit d’absorption) peut être compact ou quasi-compact (i.e. présenter un trou spectral). On donnera aussi diverses applications.

  • Jeudi 28 Mars 2019 : Éric Soccorsi (Université Aix-Marseille) Estimations de stabilité pour problèmes inverses associés à l’équation de Schrödinger magnétique

Résumé : Cet exposé porte sur le problème de la stabilité dans la détermination des potentiels électrique et magnétique de l’équation de Schrödinger, à partir de données latérales. Si les coefficients inconnus dépendent simultanément des variables de temps et d’espace, alors l’estimation de stabilité requiert un nombre infini de données de type Neumann. Par contre, un nombre fini d’entre-elles suffit si les coefficients sont stationnaires. Les résultats présentés ici sont tirés de travaux en collaboration avec M. Cristofol, X. Huang, Y. Kian et M. Yamamoto.

  • Jeudi 4 Avril 2019 : David Lafontaine (University of Bath) Ondes linéaires et non-linéaires dans des géométries captantes instables

Résumé : Nous nous intéressons aux équations des ondes et de Schrödinger posées à l’extérieur d’obstacles. Afin de s’intéresser aux équations non-linéaires correspondantes, une première étape est de comprendre la décroissance du flot linéaire. Lorsque qu’il existe des rayons de l’optique géométrique ne s’échappant pas à l’infini, c’est à dire dans des géométries captantes, l’intuition est que des phénomènes de concentration de l’énergie doivent avoir lieu, et l’on s’attend à des pertes dans les estimations de décroissance du flot linéaire par rapport à l’espace libre. Nous présenterons un résultat montrant que néanmoins, à l’extérieur de deux ou plus obstacles strictement convexes, les trajectoires captées sont suffisamment instables pour que les estimations dites de Strichartz soient aussi bonnes que dans l’espace libre. Ce résultat fournit en particulier une machinerie efficace pour l’étude des équations non-linéaires correspondantes. Nous conjecturons que dans les géométries captantes instables, les solutions des équations défocalisantes se comportent linéairement — diffusent — en temps long. Nous présenterons brièvement un premier résultat dans ce sens, pour une équation de Schrödinger non linéaire posée dans l’espace libre, mais avec un potentiel induisant des trajectoires captées instables.

  • Jeudi 11 Avril 2019 : Chérif Ammar Khodja (LMB) Opérateurs de Sturm-Liouville dégénérés au bord et contrôle : une revue de résultats

Résumé : Sur l’intervalle (0, 1), on considère l’opérateur de Sturm-Liouville

$Lu =1/q (pu’)’ + ru$

$r\in L^\infty(0,1)$ et $p ; q$ sont des fonctions régulières strictement positives sur (0,1) mais pouvant s’annuler en x = 0 ou 1 (de sorte que la stricte ellipticité est perdue au bord). L’espace "naturel" d’étude est l’espace à poids $L^2 (0 ; 1 ; q.dx)$ et on précisera, en fonction des propriétés de $p$ et $q$, les conditions au bord qui peuvent être adjointes au domaine de $L$ pour en faire un opérateur auto-adjoint.
Ceci étant fait, on déterminera les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un tel opérateur soit à résolvante compacte et on en étudiera, dans ce cas, le spectre (comportement asymptotique...). Dans le cas contraire (résolvante non compacte), on exhibera le comportement des suites singulières (de Weyl) associées au spectre essentiel.

Les problèmes de contrôlabilité du problème parabolique associé à $L$ apparaîtront en fin d’exposé.

Séminaire Chérif -11042019

  • Jeudi 2 mai 2019 : Giuseppe Coclite (Politecnico di Bari) Nonlinear Peridynamic Models

Résumé : Some materials may naturally form discontinuities such as cracks as a result of scale effects and long range interactions. Peridynamic models such behavior introducing a new nonlocal framework for the basic equations of continuum mechanics. In this lecture we consider a nonlinear peridynamic model and discuss its well-posedness in suitable fractional Sobolev spaces.
Those results were obtained in collaboration with S. Dipierro (Milano), F. Maddalena (Bari) and E. Valdinoci (Milano).

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