Événements à venir :
- Jeudi 16 mars 2023 : Damien Galant (Université de Mons et Université Polytechnique Hauts-de-France) Sur la notion de "ground state" pour l’équation de Schrödinger non-linéaire sur des graphes métriques.
Résumé :
Dans un premier temps, nous présenterons l’équation de Schrödinger non-linéaire (NLS) sur des graphes métriques et sa formulation variationnelle.
Nous présenterons la notion de "ground state", issue du calcul des variations.
Un "ground state" est une solution obtenue comme minimiseur global de la fonctionnelle d’action restreinte à la variété de Nehari, qui offre une contrainte naturelle pour le problème.
Dans un second temps, nous verrons que pour des graphes non-compacts, il faut être prudent en utilisant la terminologie "ground state". En effet, des minimiseurs sous contraintes de la fonctionnelle d’action n’existent pas nécessairement, à cause de la non-compacité.
Il convient de distinguer la notion de "ground state" de celle de solution d’action minimale, solution minimisant la fonctionnelle parmi l’ensemble des solutions de l’équation.
Quatre scénarios sont a priori possibles : les ground states existent (et coïncident avec les solutions d’action minimale) ; les ground states n’existent pas mais les solutions d’action minimale si ; ni les ground states ni les solutions d’actions minimales n’existent mais les niveaux des deux problèmes de minimisation associés sont égaux ; ni les ground states ni les solutions d’actions minimales n’existent et les niveaux des deux problèmes de minimisation sont différents.
Nous montrerons que ces quatre alternatives sont possibles dans le contexte des graphes métriques, en étudiant des problèmes variationnels doublement contraints.
Nous mettrons en évidence les avantages du cadre des graphes métriques par rapport aux cadres plus classiques comme celui des ouverts non-bornés de R^N en dimension N >= 2 pour lesquels il n’est pas connu à l’heure actuelle si les quatre scénarios cités précédemment ont lieu ou non.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Colette De Coster (UPHF),
Simone Dovetta (Politecnico di Torino) et Enrico Serra (Politecnico di Torino).
- Jeudi 25 Mai 2023 : Quentin Richard (Université de Montpellier) TBA
Résumé : à venir
Événements passés :
- Jeudi 22 Septembre 2022 : Serge Richard (Nagoya University) Théorie de la diffusion et un théorème d’indice sur la partie radiale de SL(2,R).
Résumé :
Durant ce séminaire nous présenterons la théorie spectrale et de la diffusion pour l’opérateur de Casimir de SL(2,R), après sa réduction en composantes radiales. Cette décomposition génère une famille d’opérateurs différentiels agissant sur la demi-droite réelle. Pour ces opérateurs, des expressions explicites peuvent être obtenues pour leur résolvante, leur densité spectrale, ainsi que pour les opérateurs d’onde correspondants, en terme de la fonction hypergéométrique de Gauss.
Suggéré par certains comportements asymptotiques des opérateurs d’onde, un théorème d’indice sera introduit et discuté. Au final, cette présentation mettra en évidence des liens entre la théorie de la diffusion, des fonctions spéciales, et un théorème d’indice. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Hideki Inoue.
Détails à venir.
La matinée sera composée de trois exposés consacrés aux Graphes Quantiques Non-linéaires (Nonlinear Quantum Graphs).
Salles 316B-316B bis.
* 9h00-9h45 : Colette De Coster (Université Polytechnique Hauts-de-France) Least action solution for Schrödinger equation on metric graphs.
Pause café
* 10h15-11h00 : Stefan Le Coz (Université de Toulouse III) Ground states on nonlinear quantum graphs.
* 11h05-11h50 : Louis Jeanjean (Université de Franche-Comté) Normalized solutions of L^2-supercritical NLS equations on compact metric graphs.
Les résumés :
Colette De Coster Least action solution for Schrödinger equation on metric graphs.
Stefan Le Coz Ground states on nonlinear quantum graphs.
The nonlinear Schrödinger equation is an ubiquitous model in physics, with numerous applications in areas as divers as Bose-Einstein condensation or nonlinear optics. In many physical situations, the underlying space is essentially one dimensional and can be modeled as a metric graph, i.e. a collection of vertices and edges with finiter or infinite lengths. The mathematical study of this type of model is very recent and is gaining an incredible momentum. In this talk, we will review some of the results concerning the existence of nonlinear Schr\"odinger ground states on graphs and present a numerical approach for their computation. This is a joint work with Christophe Besse and Romain Duboscq.
Louis Jeanjean Normalized solutions of L^2-supercritical NLS equations on compact metric graphs.
This talk is devoted to the existence of non-trivial bound states of prescribed mass for the mass-supercritical nonlinear Schrödinger equation on compact metric graphs. The investigation is based upon a general variational principle which combines the monotonicity trick and a min-max theorem with second order information, and upon the blow-up analysis of bound states with prescribed mass and bounded Morse index.
If times permit, we shall also discuss some extensions to non-compact graphs.
This talk is based on joint works with Jack Borthwick (University of Franche-Comté), Xiaojun Chang (Northeast Normal University) and Nicola Soave (Politecnico di Milano).
- Jeudi 1er décembre 2022 : Guillaume Ferriere (Université de Strasbourg) Stabilité asymptotique des 2-domain walls pour l’équation de Landau-Lifshitz-Gilbert avec DMI dans un nanofil
Résumé :
On considère l’équation de Landau-Lifshitz-Gilbert avec interaction de Dzyaloshinskii-Moriya (DMI), décrivant l’évolution de l’aimantation d’un nanofil ferromagnétique droit infini sous l’effet d’un champ magnétique extérieur pointant dans la direction du fil. Pour une telle équation, des solutions particulières explicites appelées "murs de domaine" ("domain walls") sont connues. Il s’agit de points critiques de l’énergie associée à cette équation, reliant - e_1 à + e_1 (ou inversement), pour lesquels l’effet du champ magnétique correspond à une translation et une rotation autour de l’axe de la direction du fil. Par ailleurs, il a été récemment montré (Côte & Ignat) que ces solutions sont asymptotiquement stables.
Dans cet exposé, on s’intéressera aux structures de type "2-domain walls", de la forme de deux domain walls opposés consécutifs. Je montrerai que ces structures sont également asymptotiquement stables lorsque les deux domain walls sont initialement suffisamment éloignés l’un de l’autre, sous certaines conditions sur le champ magnétique.
Ce travail a été réalisé en collaboration avec Raphaël Côte.
Attention, le séminaire aura exceptionnellement lieu en Amphi Deville.
- Jeudi 8 décembre 2022 : Louis Garrigue (Université de Stuttgart) Dérivation de modèles de graphène à deux couches tournées
Résumé : Le graphène est constitué d’atomes de carbone répartis sur un réseau bidimensionnel en nid d’abeille. Le TBG (twisted bilayer graphene) est constitué de deux couches de graphène superposées, et tournées l’une par rapport à l’autre. En 2017, une équipe d’expérimentateurs a découvert que ce système était supraconducteur à haute température, déclenchant un grand intérêt dans la communauté de la physique de la matière condensée. La richesse de cet objet quantique provient de ses symétries particulières et de son caractère multi-échelles. Nous introduirons la très récente littérature mathématique portant sur le modèle standard du TBG, puis nous présenterons une nouvelle manière de dériver ce type de systèmes, à partir d’un travail effectué conjointement avec Éric Cancès et David Gontier.
Attention, le séminaire aura exceptionnellement lieu en 038B.
- Jeudi 12 Janvier 2023 : Pablo Carrillo (Université de Franche Comté) Equivalence between weak and viscosity solutions for the p-Laplacian.
Résumé :
We consider the p-Laplacian, an operator which gives rise to non-linear problems which will not have in general classical solutions. As a result, other types of solutions are necessary : two possibilities are the well-known weak solutions and viscosity solutions, each one providing different information about the problem. It was proved only recently that for the non-homogeneous problem, with the right hand side a continuous function, both of these notions are equivalent. In the seminar we will analyse the basic properties of a problem involving the p-Laplacian, explore the lesser-known viscosity solutions and give the tools and ideas to prove the mentioned equivalence in two different ways.
