Événements à venir :
- Jeudi 30 novembre 2023 : Julie Valein (Université de Lorraine) Algorithme de reconstruction basé sur une estimation de Carleman pour un réseau
Résumé : Dans cette présentation, nous nous intéresserons à un problème inverse posé sur un réseau en forme d’arbre où nous avons sur chaque arête l’équation des ondes avec potentiel, les nœuds externes ont des conditions aux limites de Dirichlet et les nœuds internes suivent la loi de Kirchoff. L’objectif principal est la reconstruction du potentiel partout sur le réseau, à partir de mesures de Neumann sur tous les sommets externes sauf un. En tirant parti de la stabilité Lipschitzienne de ce problème inverse, nous visons à fournir un algorithme de reconstruction efficace basé sur l’utilisation d’une estimation de Carleman globale appropriée. Il s’agit d’un travail commun avec Lucie Baudouin, Maya de Buhan et Emmanuelle Crépeau.
- Mercredi 20 décembre 2023 : Charlotte Perrin (Université de Marseille) à venir
Séance exceptionnellement programmée le mercredi
Résumé : A venir
- Jeudi 21 décembre : soutenance d’HDR de Carlotta Donadello
- Jeudi 18 janvier 2024 : Nicola de Nitti (EPFL) Sharp bounds on enstrophy growth for the viscous Burgers equation
Résumé : We prove sharp bounds on the enstrophy growth in viscous scalar conservation laws. The upper bound is, up to a prefactor, the enstrophy created by the steepest viscous shock admissible by the $L^\infty$ and total variation bounds and viscosity. This answers a conjecture by D. Ayala and B. Protas (Physica D, 2011), based on numerical evidence, for the viscous Burgers equation. This talk is based on a joint work with D. Albritton.
Événements passés :
- Mardi 19 sepembre 2023 : Tomio Umeda (Université de Hyogo) Continuum limits for discrete Dirac operators on 2D square lattices.
Résumé : I would like to discuss the continuum limit of discrete Dirac operators on the square lattice in R^2 as the mesh size tends to zero. To this end, I propose the most natural and simplest embedding of $\ell^2( Z^d_h )$ into $L^2( R^d)$.
This approach enables one to define difference operators in a subspace of step functions in $L^2( R^d)$ and to compare the discrete Dirac operators with the continuum Dirac operators in the same Hilbert space $L^2(R^2)^2$. In particular, I can prove that discrete Dirac operators converge to the continuum Dirac operators in the strong resolvent sense. Potentials are assumed to be bounded and uniformly continuous functions on $\mathbb R^2$ and allowed to be complex matrix-valued. I also prove that the discrete Dirac operators do not converge to the continuum Dirac operators in the norm resolvent sense.
This finding is closely related to the observation that the Liouville theorem does not hold in discrete complex analysis. If time allows, I would also like to discuss the continuum limit of discrete Dirac operators on the 1D lattice.
(This is joint work with Karl Michael Schmidt.)
- Jeudi 28 septembre 2023 : Nabile Boussaïd (Université de Franche-Comté) États virtuels et principe d’absorption limite.
Résumé : Dans cet exposé, je présenterai un travail encore en cours avec Andrew Comech. Initialement notre objectif était de comprendre comment palier au défaut d’un principe d’absorption limite pour le laplacien libre en dimension 1 et 2. Ce défaut était un obstacle à la mise en oeuvre de méthodes perturbatives dans l’analyse de la stabilité spectrale en régime faiblement relativiste pour l’équation de Dirac non linéaire.
Le principe d’absorption limite est une estimation sur la résolvante au voisinage du spectre dans des espaces plus petits au départ et plus gros à l’arrivée. Nous tentons de lier la question de l’absence de principe d’absorption limite à un défaut d’injectivité de l’opérateur. Les éléments du noyaux sont les états virtuels (ce ne sont pas des états propres mais ils s’en rapprochent).
Plusieurs difficultés apparaissent, la première est dans la définition du principe d’absorption limite puisque souvent le côté borné est remplacé par l’existence d’une limite (à moins que ce soit l’inverse). Or est-ce une limite faible, forte, en norme voire pré-faible ? Le caractère borné est-il équivalent à l’existence d’une telle limite ? Une autre difficulté est que les espaces considérés peuvent ne pas être hibertiens ou même réflexifs (d’où la pertinence de la limite préfaible).
Je vais passer un peu de temps à présenter des résultats abstraits qui tiennent de l’analyse fonctionnelle appliquée et j’aimerais surtout mettre en avant nos résultats en dimension 1 et 2 pour le laplacien. Il nous semble qu’à ce jour, les espaces optimaux que l’on peut considérer ne sont pas connus et que les propriétés des états virtuels sont mal connues. Nous pensons avoir fait quelques progrès dans ce sens.
- Jeudi 12 octobre 2023 : Chérif Ammar-Khodja (Université de Franche-Comté) Théorème(s) de Paley-Wiener et théorie du contrôle
Résumé :
- Jeudi 26 octobre 2023 : Chérif Ammar-Khodja (Université de Franche-Comté) Théorème(s) de Paley-Wiener et théorie du contrôle II
Résumé :
- Jeudi 9 novembre 2023 : Changzhen Sun (CNRS & Université de Franche-Comté) Spectral Instability of Electronic Euler-Poisson System.
Résumé : This presentation delves into the spectral instability of periodic
waves for the electronic Euler-Poisson system, a hydrodynamical model for
understanding electron dynamics in plasmas.
It is found that even small-amplitude periodic traveling waves in this
system exhibit spectral instability, which is neither modulation nor
co-periodic, necessitating an usual spectral analysis approach.
The lecture will provide an explanation of fundamental tools employed to
investigate the stability of periodic waves, including Bloch-Floquet
theory, Kato’s perturbation theory, while outlining the primary proof
strategy.
- Jeudi 16 novembre 2023 : Jérôme Le Rousseau (Université Sorbonne Paris Nord) Transport de mesure le long de champs continus et application à l’observabilité des ondes.
Résumé : Sur domaine borné (ouvert à bord, variété compacte avec ou sans bord), on rappellera comment l’observabilité des ondes et leur contrôlabilité sont des notions duales, pour se concentrer sur la première et un schéma de démonstration fondé, au moyen de mesures dans l’espace des phases, sur la compréhension de potentielles concentrations d’ondes. Ces mesures obéissent à une équation de transport. On regardera cette équation et ses conséquences pour le support de la mesure quand les coefficients de l’équation des ondes ont une régularité basse, C^1 dans notre cas. Cette régularité permet de définir des géodésiques mais pas de flot géodésique en général. Si le temps permet on regardera certaines subtilités qui se produisent au bord du domaine.
- Jeudi 23 novembre 2023 : Guillaume Olive (Institute of Mathematics - Krakow - Pologne) Temps minimal de contrôle pour les systèmes hyperboliques linéaires d’ordre un en 1D
Résumé : Dans cet exposé nous discuterons des résultats obtenus récemment sur le temps minimal de contrôle pour les systèmes hyperboliques linéaires d’ordre un en dimension un d’espace.
Nous présenterons plusieurs situations où nous avons une formule de ce temps qui est explicite et facile à calculer en fonction des paramètres du système (vitesses, matrices de couplage interne et au bord).
Les preuves reposent sur plusieurs ingrédients : une décomposition canonique de type LU pour la matrice de couplage au bord, la méthode de compacité-unicité, la méthode de backstepping ou encore le théorème de convolution de Titchmarsh.
Cet exposé est basé sur plusieurs travaux en collaboration avec Long Hu.
