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$\Gamma$-supercyclicité d’une famille d’opérateurs de translation dans l’espace $L^p$ pondéré

publié le

Arafat Abbar
 (Université de Marne la Vallée)

Soient G un groupe localement compact, \mu une mesure de Haar sur G, S\subset G, 1\leqslant p<+\infty et \omega:G\longrightarrow\mathbb{R} une fonction strictement positive localement p-intégrable. Considérons l’espace L^p pondéré

L^p(G,\omega)&nbsp;:=\left\{ f&nbsp;: G\longrightarrow\mathbb{C}&nbsp;:\, f\,\text{ mesurable }, \,\int_{G}|f(t)|^p\omega(t)^p\,\mathrm{d}\mu(t)<\infty\right\}.


Supposons que pour tout s\in S l’opérateur de translation (à gauche) soit continu de L^p(G,\omega) dans lui-même.
Une fonction f\in L^p(G,\omega) est dite S-dense dans L^p(G,\omega) si l’ensemble Orb_S(f)&nbsp;:=\lbrace T_sf&nbsp;:\,s\in S\rbrace est dense dans L^p(G,\omega). Cette notion a été introduite et caractérisée par E. Abakumov et Y. Kuznetsova en 2017. Dans cet exposé, nous nous intéressons d’abord à leur caractérisation d’existence des fonctions S-denses
%dans l’espace L^p pondéré sur les groupes LC
et également aux cas particuliers suivants : La caractérisation de Salas de l’hypercyclicité de l’opérateur shift à gauche non pondéré bilatéral et celle de l’hypercyclcité du c_0-semigroupe de translation faite par Desch, Schappacher et Webb.
Nous nous intéressons finalement à l’existence d’une fonction f\in L^p(G,\omega) telle que l’ensemble \lbrace \lambda T_sf&nbsp;:\,\lambda\in \Gamma,\, s\in S\rbrace soit dense dans L^p(G,\omega), où \Gamma est un sous-ensemble de \mathbb{C}. Travail en collaboration avec Y. Kuznetsova.