Habilitation à Diriger des Recherches (Spécialité
 : mathématiques appliquées ; Option : statistique -
probabilités)

présentée le 02 décembre 2004 à
Pau devant le jury composé des Professeurs des
Universités :

• Florin Avram,
  Université de Pau et des Pays de l’Adour,
  Examinateur
  

• Avner Bar-Hen,
  Université Aix-Marseille III & INA-PG,
  Rapporteur
  
• Gérard Gagneux, Université de Pau et des Pays de
  l’Adour, Examinateur -
  Président du jury
  
• Fabrice
  Gamboa,
  Université Paul Sabatier - Toulouse III,
  Examinateur
  
• Mikhail Nikulin, Université Victor Segalen - Bordeaux 2,
  Rapporteur
  
• Pedro Puig,
  Université Autonome de Barcelone, Examinateur
  

• Bernard Ycart, Université René Descartes - Paris V, Rapporteur

Titre : Contibutions théoriques et pratiques aux familles exponentielles

Résumé : Les familles exponentielles de lois de probabilité offrent une panoplie de
modèles très utiles en statistique ainsi qu’en probabilités. Les travaux
résumés dans ce mémoire s’intéressent à leurs caractérisations et
interprétations probabilistes, ainsi que leurs applications en statistique.

Dans la première partie, une nouvelle classe de familles exponentielles naturelles (FEN) est introduite puis décrite complètement. Elle s’appuie sur une transformation dite de Lindsay des FEN de fonctions variance cubiques. Des interprétations probabilistes par les lois de temps de frappe des processus stochastiques sont données. Enfin, à travers une notion de d-pseudo-orthogonalité des polynômes associés à une densité de FEN, plusieurs caractérisations des FEN de fonctions variance polynomiales de degré 2d-1 sont données pour d = 2,3, ... .

La deuxième partie est consacrée au déterminant des matrices de moments des lois multidimensionnelles. Deux aspects sont principalement explorés : le premier a trait à une caractérisation du déterminant de la hessienne d’une transformée de Laplace et ses conséquences ; le second concerne de meilleurs estimateurs de la variance généralisée ou du déterminant de la matrice de variance-covariance. Une nouvelle caractérisation des FEN
Poisson-gaussiennes moyennant la variance généralisée est alors donnée.

La troisième partie étudie des modèles exponentiels, de plus en plus appropriés et complémentaires, pour l’analyse statistique des données de comptage qui révèle une variabilité plus grande que la moyenne prédite. Ce phénomène dit de surdispersion par rapport à la loi de Poisson est examiné à travers des FEN binomiale négative généralisée et arcsinus stricte ainsi que d’une grande classe des FEN dite de Hinde-Demétrio, laquelle englobe la binomiale négative et l’arcsinus stricte. Des estimations et test d’hypothèses sur certains paramètres des modèles surdispersés sont proposés et appliquées sur des données réelles.

Deux techniques d’estimation sont présentées dans la quatrième partie. La première, plus généraliste, est relative à une loi implicite ou conditionnelle d’un paramètre connaissant les observations. La seconde, plus restrictive, est une approche pour montrer l’unimodalité de la vraisemblance dans un
modèle de capture séquentielle. Cette dernière est appliquée à l’estimation
de la biomasse des saumons dans le bassin de l’Adour.

La dernière partie présente, de manière non exhaustive, des problèmes ouverts, quelques perspectives et des projets en cours.

Mots-clés : Capture séquentielle, caractérisation, déterminant, estimateur, fonction variance, indéfinie divisibilité, polynôme d-orthogonal, processus
stochastique, surdispersion, transformée de Laplace, variance généralisée.