Dans la liste des problèmes du prix du millénaire posés par l’Institut de Mathématiques Clay il y en a deux qui appartiennent au domaine de la théorie des nombres : l’hypothèse de Riemann et la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Ce sont probablement les problèmes ouverts les plus importants en théorie des nombres. Dans cet exposé je vais formuler ces problèmes, expliquer leur histoire et décrire les raisons pour lesquelles ils sont si importants.

On dit qu’une suite de nombres complexes est un multiplicateur de Fourier sur lorsque pour tout , est la suite des coefficients de Fourier d’un élément de . Nous donnerons dans une première partie quelques propriétés des multiplicateurs, et nous verrons en particulier que pour certaines valeurs de $p$, il est possible de les décrire complètement. Dans une seconde partie, nous expliquerons quelles techniques sont en jeu dans la démonstration du théorème de Riesz qui affirme que, pour , la suite est un multiplicateur sur Ce résultat permet de définir la transformée de Hilbert de comme la fonction dont les coefficients de Fourier sont les Nous verrons ensuite une autre définition de la transformée de Hilbert, comme intégrale singulière, qui fait intervenir d’autres outils et permet d’obtenir quelques propriétés de cette transformée. Enfin, nous donnerons différentes conséquences de ces résultats, notamment pour les séries de Fourier.

Dans cet exposé, j’introduirai dans un premier temps la notion de présentation de groupe et celle de problème du mot. Par la suite, j’introduirai deux familles de groupes qui permettront d’illustrer ces deux concepts sur des exemples détaillés tout au long de l’exposé : les groupes de Coxeter et les groupes d’Artin.

Retrouvez ci-dessous le beamer :

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Sur la non-existence de certaines extensions galoisiennes sur non-ramifiées en dehors de ()
Marine Rougnant

L’étude des représentations semi-simples et continues du groupe de Galois absolu dans peut-être ramenée à la recherche d’extensions galoisiennes dont le groupe de Galois vérifie certaines hypothèses.

Nous aborderons les cas historiques où ou et où l’on suppose de plus l’extension non-ramifiée en dehors de . Nous verrons que de telles extensions n’existent pas, sauf si on suppose la représentation non-irréductible dans les cas et .

L’idée de matrice aléatoire remonte aux années 1930. Nous nous intéresserons ici au cas des matrices du GUE (Gaussian Unitary Ensemble) et étudierons la répartition asymptotique des valeurs propres de ces matrices lorsque leur taille tend vers l’infini. Nous verrons que nous obtenons un très beau résultat, qui se démontre avec des outils de base. Nous donnerons également quelques éléments pour introduire à partir de là la notion de théorie des probabilités libres.