Arafat Abbar
(Université de Marne la Vallée)
Soient $G$ un groupe localement compact, $\mu$ une mesure de Haar sur $G$, $S\subset G$, $1\leqslant p<+\infty$ et $\omega:G\longrightarrow\mathbb{R}$ une fonction strictement positive localement $p$-intégrable. Considérons l’espace $L^p$ pondéré
$$L^p(G,\omega) :=\left\{ f : G\longrightarrow\mathbb{C} :\, f\,\text{ mesurable }, \,\int_{G}|f(t)|^p\omega(t)^p\,\mathrm{d}\mu(t)<\infty\right\}.$$
Supposons que pour tout $s\in S$ l’opérateur de translation (à gauche) soit continu de $L^p(G,\omega)$ dans lui-même.
Une fonction $f\in L^p(G,\omega)$ est dite $S$-dense dans $L^p(G,\omega)$ si l’ensemble $Orb_S(f) :=\lbrace T_sf :\,s\in S\rbrace$ est dense dans $L^p(G,\omega)$. Cette notion a été introduite et caractérisée par E. Abakumov et Y. Kuznetsova en 2017. Dans cet exposé, nous nous intéressons d’abord à leur caractérisation d’existence des fonctions $S$-denses
%dans l’espace $L^p$ pondéré sur les groupes LC
et également aux cas particuliers suivants : La caractérisation de Salas de l’hypercyclicité de l’opérateur shift à gauche non pondéré bilatéral et celle de l’hypercyclcité du $c_0$-semigroupe de translation faite par Desch, Schappacher et Webb.
Nous nous intéressons finalement à l’existence d’une fonction $f\in L^p(G,\omega)$ telle que l’ensemble $\lbrace \lambda T_sf :\,\lambda\in \Gamma,\, s\in S\rbrace$ soit dense dans $L^p(G,\omega)$, où $\Gamma$ est un sous-ensemble de $\mathbb{C}$. Travail en collaboration avec Y. Kuznetsova.