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Fonctions L et variétés de Siegel

par Fovelle Audrey - publié le

Jeudi 6 octobre 2022
Marsault Chabat
(Université de Franche-Comté)

Fonctions L et variétés de Siegel

La théorie des fonctions L est omniprésente dans beaucoup des plus grands programmes de recherches en théorie des nombres moderne. Parmi ceux-ci se trouvent les conjectures sur les valeurs spéciales. Ces conjectures énoncent grossièrement que "S’il y a de l’arithmétique et des fonctions L, alors le comportement de celles-ci (après normalisation) en zéro nous donne des informations très riches sur l’arithmétique dont elles sont issues".
Plus concrètement, nous nous focaliserons sur un objet arithmétique en particulier, les courbes elliptiques. Après les avoir définies, nous construirons leurs fonctions L. Alors on verra que B. Birch et P. Swinnerton-Dyer ont, dans les années 1960, prédit à partir de centaines d’exemples un lien entre le comportement de la fonction L d’une courbe elliptique en zéro et certains invariants sur cette courbe. Ces prédictions ont par la suite mené à la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, un des 7 problèmes du millénaire de la Clay Math Institute.
On verra alors comment généraliser ces conjectures en dimension supérieure (passer des courbes aux surfaces puis espaces etc).
En fonction du temps qu’il nous restera nous verrons quelles type de méthodes on peut employer pour avancer, lentement, vers une démonstration de ces conjectures.