Mercredi 25 mai 2022
Valentin Petit (Université de Franche-Comté)
La paramétrisation dans le cas des corps de fonctions est remarquablement différente du revêtement modulaire classique sur le corps des nombres complexes et son étude présente de nombreux enjeux. Plus précisément, soient $q$ une puissance d’un nombre premier, et $\mathbb{F}_q$ l’unique corps à $q$ éléments. Soit $E$ une courbe elliptique non-isotriviale définie sur $\mathbb{F}_q(T)$ par une équation de Weierstrass de la forme
$$ E\colon y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6, \quad a_i \in \mathbb{F}_q[T], $$
alors, la paramétrisation modulaire est une application rationnelle $\phi \colon \overline{M}_\Gamma \rightarrow E$, où $\overline{M}_\Gamma$ est la courbe modulaire de Drinfeld. On s’intéresse au calcul de l’image des pointes de $\overline{M}_\Gamma$ par $\phi$. Pour ce faire, nous étudierons les propriétés des fonctions thêtas et des arbres de Bruhat-Tits. On étudiera également un exemple de paramétrisation modulaire sur $\mathbb{F}_2(T)$.