Annuaire des doctorants

Directeur·ice·s : Raluca Eftimie / Dumitru Trucu (U. Dundee)

Date de début : 10/01/2022

Sujet : Modélisation mathématique multi-échelle et approches numériques pour les pathologies chéloïdiennes

Résumé : Ce projet vise à étudier la croissance chéloïde par une approche intégrée qui combine la collecte de données in vitro et in vivo avec la modélisation mathématique multi-échelle et les simulations numériques.

Directeur·ice·s : Nabile Boussaïd / Thierry Daudé

Date de début : 01/10/2023

Sujet : Modes quasi-normaux des trous noirs

Résumé : Le projet de thèse vise à étudier les modes quasi-normaux (QNM) des trous noirs, qui jouent un rôle clé dans la recherche contemporaine en physique et physique mathématique. Les QNM sont les signatures des trous noirs "nouvellement" formés. Ils correspondent aux fréquences et aux taux d'amortissement des signaux émis par le trou noir en présence de perturbations, et leurs fréquences codent des propriétés physiques et géométriques fondamentales du trou noir (et de son environnement). Le projet de recherche de cette thèse se concentre sur l'étude de trois problèmes liés aux QNM : (Problème de stabilité) La question de la stabilité des QNM sous de petites perturbations est cruciale mais subtile. En utilisant, par exemple, l'approche de la foliation hyperbolique (Jaramillo, Macedo et Sheikh), les QNM peuvent également être considérés comme des valeurs propres d'opérateurs de type Schrödinger non auto-adjoints, comme proposé par Häfner, Hintz et Vasy ou Gajic et Warnick. Cela suggère une forme très faible de stabilité pour les QNM, un phénomène qui a récemment été observé par Jaramillo et al. dans des simulations numériques en utilisant la notion de pseudo-spectre. Jaramillo et al. montrent la stabilité des QNM avec une décroissance la plus lente sous certaines perturbations, tandis que l'instabilité augmente avec l'amortissement. D'un point de vue mathématique, les QNM sont des résonances d'opérateurs de type Schrödinger dont les potentiels dépendent de la géométrie des trous noirs. Le projet de recherche de cette thèse consistera à caractériser les QNM en tant que valeurs propres d'opérateurs de Schrödinger non auto-adjoints et à analyser leur stabilité spectrale sous perturbations. La méthodologie consistera tout d'abord à considérer des perturbations d'un modèle jouet fourni par l'équation des ondes avec un potentiel de Pöschel-Teller. L'intérêt ici est que grâce au changement de variable de la foliation hyperbolique mentionnée ci-dessus, le potentiel devient constant. La deuxième étape consistera à considérer le modèle de Schwarzschild physiquement plus pertinent et à récupérer théoriquement les observations de Jaramillo et al. (Problème inverse) Une autre question fondamentale est celle du problème inverse pour les résonances, c'est-à-dire la détermination unique et stable de la géométrie du trou noir à partir de ses QNM. De tels problèmes inverses ont été complètement résolus dans le cas de l'équation de Schrödinger à une dimension avec des potentiels à support compact. Cette hypothèse n'est évidemment pas satisfaite pour les potentiels provenant de la physique des trous noirs. Le projet de recherche consistera ici à étudier plusieurs problèmes inverses de résonances (unicité, stabilité et formules de reconstruction) pour les équations de type Schrödinger qui apparaissent dans la définition des QNM et à généraliser les résultats connus (voir Borthwick, Boussaïd et Daudé pour le cadre des potentiels à support compact) à ce nouveau contexte. Dans ce contexte, les QNM en tant que résonances sont des pôles de la fonction de Weyl-Titchmarsh (qui est méromorphe). Sous certaines conditions, les pôles déterminent complètement cette fonction. Étant donné que la fonction de Weyl-Titchmarsh détermine de manière unique le potentiel et donc la géométrie, les conditions suffisantes pour cette procédure sont dans certains cas stables par perturbation compacte. Il s'agira alors de tester cette idée sur un modèle explicite tel que celui des potentiels de Pöschel-Teller. (Problème d'approximation) Les QNM les plus bas encodent des propriétés importantes du trou noir telles que sa masse et son moment angulaire. Fournir une méthode numérique certifiée pour calculer le premier QNM a un intérêt physique certain (validation des modèles). Ces modes les plus bas devraient être stables sous les perturbations de la géométrie du trou noir, ce qui rend une approche numérique apparemment accessible. Pour les modes plus élevés, comprendre et quantifier l'instabilité contribuera également à améliorer leur approximation. Le projet de recherche de cette thèse consistera à analyser et à mettre en œuvre des méthodes numériques certifiées pour calculer les QNM les plus bas et à étudier les instabilités numériques des QNM plus élevés. La méthodologie proposée se déroulera en deux temps. Premièrement, en interprétant les QNM comme des valeurs propres localisées, l'adaptation de méthodes sans états "spurieux" conduira probablement à une approximation certifiée et précise des premiers états. Le coût de calcul peut être élevé en raison des oscillations et des décroissances lentes des états correspondants. Une partie importante de l'analyse sera consacrée au choix des bases et des paramètres appropriés. Deuxièmement, le doctorant réexaminera l'approche des pôles de la résolvante comme suggéré par Duchemin, Genovese, Letournel, Levitt et Ruget. L'idée est de réécrire le noyau de la résolvante par une analyse de Fourier comme l'intégrale d'une fonction méromorphe. Après une déformation de contour, le chemin d'intégration peut éviter les pôles et permettre la continuation analytique de la résolvante. Dans une telle approche, les objets en jeu sont des intégrales de fonctions localisées et bien définies. Ils peuvent donc être discrétisés dans une approche numérique. Cette tâche sera réalisée en collaboration avec Mi-Song Dupuy et Antoine Levitt. En étudiant ces modèles explicites, nous pouvons acquérir des connaissances sur les propriétés spectrales des opérateurs de type Schrödinger qui apparaissent dans la définition des QNM et leur relation avec la géométrie des trous noirs. Les résultats obtenus dans ce projet de recherche auront des implications que nous espérons importantes pour notre compréhension de la physique des trous noirs et de l'univers en général, ainsi que pour le développement de nouvelles technologies basées sur les ondes gravitationnelles et la détection des trous noirs.

Directeur·ice·s : Gilles Lancien / Antonin Prochazka

Date de début : 01/10/2023

Sujet : Espaces Lipschitz libres et applications à la classification non linéaire des espaces de Banach

Résumé : L'espace Lipschitz libre associé à un espace métrique pointé M est le prédual canonique associé à l'espace des fonctions lipschitziennes de M dans R. On le note F(M). L'application de Dirac, qui à x dans M associe l'évaluation en x est une isométrie de M sur une partie libre et totale de F(M). La propriété clé de F(M) est que toute application lipschitzienne entre espaces métriques (fixant les origines) se prolonge de façon unique en une application linéaire continue entre les espaces libres correspondants, via les applications de Dirac. Cette apparente simplicité a un prix : toute la complexité des applications lipschitziennes est cachée dans la structure linéaire des espaces libres. L'étude en profondeur de la structure linéaire des espaces libres a été initiée par un papier fondateur de Godefroy et Kalton (2003). Nous adoptons ici leur terminologie "espace Lipschitz libre", mais on peut reconnaitre des espaces naturellement associés au problème du transport optimal. Nous mentionnerons ici un seul résultat de ce papier : un Banach X a la BAP de Grothendieck (propriété d'approximation de l'identité par des opérateurs uniformément bornés de rang fini) si et seulement si F(X) a la BAP. En corollaire, la BAP est stable par isomorphismes lipschitziens. Depuis, de nombreux résultats ont été obtenus pour décrire les espaces métriques dont l'espace libre possède la BAP. Pour motiver ces résultats, disons simplement qu'ils sont intimement liés à l'existence d'opérateurs linéaires de prolongement des applications lipschitziennes. Par ailleurs, la BAP fournit une façon algorithmique d'approximer un nombre fini de vecteurs. Les versions améliorées de cette propriété : CBAP (BAP commutative), existence de décompositions de Schauder fini-dimensionnelles (FDD), existence de bases de Schauder, correspondent à des améliorations de cet algorithme. C'est vers elles que va se tourner ce projet. Un problème aussi simple à énoncer que l'existence d'une base de Schauder de F(M) est presque toujours ouvert. E. Pernecká et P. Hájek ont montré que F(l1) a une base de Schauder, mais cette question reste ouverte pour F(l2) ou F(c0). Plus généralement, on ne sait pas si F(X) a une base dès que X en a une. L'étude du passage de X à F(X) de propriétés intermédiaires telles que la CBAP, la propriété Π (approximation bornée par des projections de rang fini), existence de FDD nous semble aussi centrale ; avec comme application possible la stabilité de ces propriétés par isomorphismes lipschitziens. Nous avons vu que des résultats sur la structure des espaces libres peuvent avoir des applications pour la classification métrique des espaces de Banach. Les échanges peuvent aussi se faire dans l'autre sens. En effet, le thème des espaces libres est également lié à celui des espaces universels pour les plongements grossièrement Lipschitz. Aliaga, Gartland, Petitjean et Procházka ont récemment caractérisé les espaces métriques M tels que F(M) a la propriété de Radon-Nikodým comme étant ceux qui sont 1-purement inrectifiables. En application, ils ont prouvé que dans la catégorie des espaces libres les propriétés de Radon-Nikodým et de Krein-Milman sont équivalentes (une question ouverte majeure dans le cas général), en laissant ouverte la question suivante : ceci est-il équivalent, pour M séparable, au fait que F(M) se plonge linéairement dans un dual séparable ? Si nous montrons qu'un dual séparable ne peut pas être universel pour les plongements grossièrement Lipschitz, nous pourrons en déduire une réponse négative à cette question. Nous nous attaquerons aussi à cette question importante. Depuis la parution de l'article de Godefroy et Kalton une riche et foisonnante littérature est parue sur les espaces libres. Nous en savons maintenant beaucoup plus et la boîte à outils pour les étudier s'est bien étoffée. Le moment parait idéal pour se tourner à nouveau vers ces questions fondamentales qui étaient sous-jacentes au papier de Godefroy et Kalton.

Directeur·ice·s : COTUTELLE Hassan Oukhaba / Assim Jilali (Moulay-Ismaïl Maroc)

Date de début : 18/02/2022

Sujet : Formes modulaires et valeurs des fonctions L

Résumé : La non divisibilité des valeurs spéciales de la fonction zeta de Dedekind associées aux corps quadratiques réels aux entiers négatifs. Ces valeurs sont liées aux ordres de certains groupes de cohomologie et caractérisant les corps de nombres (p,i)-réguliers.

Directeur·ice·s : Yacouba Boubacar Maĩnassara / Landy Rabehasaina

Date de début : 07/10/2022

Sujet : Modèles ARMA faibles modulés par une chaîne de Markov cachée

Résumé : Dans le cadre de cette thèse, l'objectif sera d'étudier dans quelle mesure l'analyse statistique établie sur les modèles ARMA faibles modulés par une chaîne de Markov lorsque cette chaîne est observée peut s'étendre au cas des modèles ARMA faibles modulés par une chaîne de Markov cachée. Dans notre approche, nous allons consacrer un apport théorique important à cette thèse. En outre, une partie conséquente de la thèse devra également être consacrée aux applications. De ce fait, nous allons adapter les sorties des logiciels de prévision qui utilisent la méthodologie de Box et Jenkins (identification, estimation et validation de modèles standard) aux modèles de séries temporelles modulés par une chaîne de Markov cachée avec un bruit présentant une dépendance.

Directeur·ice·s : Olivier Fouquet / Francesco Lemma (U. Paris Cité)

Date de début : 01/10/2024

Sujet : Arithmétique des fonctions L adjointes de GSp(4)

Résumé : Nous proposons un sujet de thèse sur l'arithmétique des représentations automorphes. L'idée principale, qui remonte à [Kenneth A. Ribet. Une construction modulaire de p-extensions non ramifiées de Q(μp). Inventer. Math., 34(3):151-162, 1976] dans le cas GL(2) et GL(1) × GL(1) et a depuis été largement généralisée (par exemple [Christopher Skinner et Eric Urban. Les conjectures principales d'Iwasawa pour GL2. Invent. Math., 195(1):1–277, 2014, Xin Wan. Conjecture principale d'Iwasawa pour les fonctions L p-adiques de Rankin-Selberg. Algebra Number Theory, 14(2):383–483, 2020]), est d'exploiter les congruences entre les représentations automorphes d'un grand groupe réductif - pour nous, le groupe des points adéliques sur un corps totalement réel du groupe algébrique GSp(4) - et les représentations automorphes de groupes réductifs plus petits - dans notre cas un relèvement thêta de GL(2) × GL(2) - pour étudier l'arithmétique propriétés des valeurs spéciales de la fonction L. La proposition nécessite un mélange de techniques issues de l'analyse harmonique sur les groupes non commutatifs, de la théorie des représentations automorphes, de la géométrie des variétés de Shimura et des méthodes p-adiques dans l'étude des représentations galoisiennes et de leurs fonctions L. Des résultats importants à la pointe de la recherche actuelle dans l'arithmétique des fonctions L des représentations automorphes et des représentations galoisiennes sont attendus.

Directeur·ice·s : Louis Jeanjean

Date de début : 01/11/2022

Sujet : Solutions normalisées de l'équation non-linéaire de Schrödinger en régime L^2-supercritique sur des graphes métriques non compacts ; existence et propriétés qualitatives

Résumé : L'objectif du projet est l'étude des points critiques pour le fonctionnel d'énergie Schrödinger non-linéaire 'masse-supercritique', qui dépend d'un graphe métrique non compact G, sous une restriction de masse. Ces points critiques, aussi connus comme 'états-delimités', résolvent l'équation sur G où la condition de Kirchhoff est satisfée aux sommets. De plus, ils produisent des ondes stationnaires de l'equation NLS dépendante du temps sur G . Actuellement, rien est connu concernant le régime L^2-supercritique.

Directeur·ice·s : Olivier Fouquet

Date de début : 04/11/2021

Sujet : Conjectures équivariantes pour les motifs des représentations symplectiques

Résumé : En analysant l'action de l'algèbre de Hecke sur le complexe de cohomologie étale à coefficients dans la représentation galoisienne associée à une représentation automorphe cuspidale du groupe réductif GSp4, on souhaite montrer que la fonction L de cette représentation satisfait à la conjecture principale de la théorie d'Iwasawa si et seulement si c'est le cas d'une représentation congruente.

Directeur·ice·s : Camelia Goga / Catherine Quantin (CHU Dijon)

Date de début :

Sujet :

Directeur·ice·s : Geneviève Dusson / Alexei Lozinski

Date de début : 11/10/2021

Sujet : Modèles réduits et apprentissage automatique pour problèmes aux valeurs propres en calcul de structures électroniques

Directeur·ice·s : Clément Dombry / Davit Varron

Date de début : 01/10/2024

Sujet : Méthodes des processus empiriques pour la régression distributionnelle

Résumé : Le cadre statistique de cette thèse est le problème de régression distributionnelle, c'est-à-dire comment modéliser et estimer correctement les fonctions de distribution cumulative conditionnelle. Ce sujet est plus complexe que ce que l'on rencontre généralement dans la régression classique : au lieu de construire des prédictions ponctuelles, nous prédisons plutôt la distribution conditionnelle entière. La régression distributionnelle est pertinente dans divers domaines, tels que la météorologie, la forêt aléatoire distributionnelle, la prévision probabiliste, la régression quantile ou la régression distributionnelle additive structurée. La méthode du réseau de régression distributionnelle (DRN) a été développée comme une évolution du cadre classique ‘Ensemble Model Output Statistics' (EMOS), ajoutant beaucoup plus de flexibilité à l'aide des réseaux de neurones. DRN vise à améliorer la capacité du modèle à représenter des phénomènes complexes en employant des approches mieux adaptées aux structures non linéaires des données météorologiques, par opposition aux méthodes traditionnelles reposant sur des liens linéaires et fixes. Cette approche offre une plus grande flexibilité et adaptabilité pour modéliser les relations entre les variables prédictives et les paramètres de manière plus réaliste. Dans cette thèse, nous étudierons la procédure d'estimation basée sur le principe empirique de minimisation des risques, en utilisant une fonction de risque basée sur le 'Continuous Ranked Probability Score' (CRPS). En utilisant des techniques issues de la théorie des processus empiriques, cette thèse se concentrera sur les objectifs suivants : 1-Calibration du modèle : fournir des estimations non asymptotiques pour l'erreur d'estimation. 2-Sélection du modèle : fournir des estimations non asymptotiques du regret, via une minimisation des erreurs de validation. 3-Agrégation de modèles : fournit des estimations non asymptotiques du regret pour l'agrégation convexe des modèles.

Directeur·ice·s : Ulrich Razafison / Bastien Polizzi / Carlotta Donadello

Date de début : 01/10/2024

Sujet : Analyse et simulation numérique de transport de gaz sur réseau et de systèmes fluides multi-phasiques

Résumé : Ce projet vise à étudier deux applications, en lien avec des enjeux énergétiques, et décrites par les équations d'Euler qui sont un système d'équations aux dérivées partielles de type lois de conservation. La première application est dédiée à l'analyse et à la simulation numérique du transport d'un gaz dans un réseau de pipelines. Dans ce problème, on tient compte d'une part, des dispositifs de contrôle ou de régulation du gaz, que sont des compresseurs ou des valves, et d'autre part, des frottements qui existent entre le gaz et les pipelines. Comme les simulations numériques peuvent être chères en terme de coûts et de temps de calculs, le projet a également pour objectif d'étudier l'utilisation de méthodes numériques, dites de bases réduites, afin de réduire ces coûts. Dans la deuxième application, on s'intéresse à l'analyse et à la simulation numérique de la dynamique de biofilms qui jouent un rôle essentiel dans la production de biocarburant. Les équations d'Euler sont ici étendues au cas multi-phasique. Le problème tiendra compte de termes de frottement existant entre les différentes phases. Par ailleurs, des domaines d'étude tridimensionnels seront considérés afin de pouvoir explorer numériquement la réponse dynamique d'écosystèmes.

Directeur·ice·s : Olivier Fouquet

Date de début : 01/11/2023

Sujet : Éléments zêtas et arithmétique des formes modulaires de poids 1

Résumé : L'arithmétique des valeurs spéciales des formes modulaires de poids 1 est particulièrement mystérieuse : en effet, contrairement au cas des formes de poids dits cohomologiques, la fonction L des ces formes n'a aucune valeur critique au sens de Deligne. De plus, la construction du système d'Euler de Kato ne s'étend pas à ces formes. Enfin, ces formes ne correspondent pas des systèmes de valeurs propres intervenant dans la cohomologie de courbes modulaires, mais obéissent au contraire aux phénomènes dérivés observés par Venkatesh dans la cohomologie des espaces symétriques qui ne sont pas des variétés de Shimura. Le projet de cette thèse est d'étendre les résultats de Kato aux formes modulaires de poids 1 et spécifiquement de construire des éléments zêtas pour les formes modulaires de poids 1 par interpolation p-adique puis de montrer qu'ils forment une base de droites fondamentales dérivées incorporant l'action supplémentaire de l'algèbre de Hecke dérivée.

Directeur·ice·s : Stefan Neuwirth

Date de début : 13/03/2023

Sujet : John von Neumann et les fondements mathématiques de la mécanique quantique

Résumé : Le projet de cette thèse est de décrire précisément le déroulement historique et le cadre épistémologique des recherches de John von Neumann en mécanique quantique. Quels travaux mathématiques et physiques convergent dans ces recherches ? Comment décrire l'interaction entre mathématiques et physique à l'œuvre ? Une attention particulière sera portée à la théorie de la mesure. De quelle manière ces recherches ont-elles participé à structurer le domaine de la mécanique quantique en physique et des algèbres d'opérateurs en mathématiques ?

Directeur·ice·s : Raluca Eftimie / Alexei Lozinski

Date de début : 01/10/2023

Sujet : Nouvelles approches numériques et analytiques pour des modèles non-locaux avec des applications en biologie

Résumé : Les deux dernières décennies ont révélé que bon nombre des interactions qui sous-tendent divers phénomènes en biologie cellulaire et en écologie sont en fait non locales (les cellules peuvent communiquer avec d'autres cellules à distance, les animaux peuvent communiquer avec d'autres animaux à distance). Cela nécessite l'utilisation de modèles mathématiques non locaux pour décrire ces phénomènes. Certains des modèles mathématiques non locaux dérivés pour décrire ces interactions en biologie cellulaire, en médecine, en écologie, comprennent également des aspects multi-échelles, qui entraînent un degré de complexité plus élevé et sont plus difficiles à étudier analytiquement et numériquement pour garantir que leurs solutions sont biologiquement réalistes. Le but de ce projet est de dériver de nouvelles approches analytiques et numériques pour étudier différentes classes de modèles mathématiques multi-échelles non-locaux.

Directeur·ice·s : Raluca Eftimie / Antoine Perasso

Date de début : 01/10/2021

Sujet : Modélisation mathématique, analyse numérique et statistique de la dynamique multi-échelle pour la propagation des épidémies. Applications aux maladies infectieuses

Résumé : La majorité des approches mathématiques actuelles qui étudient la propagation des épidémies se concentre sur une seule échelle : soit l'échelle de la population pour les approches épidémiologiques, soit l'échelle individuelle pour les approches immunologiques. Cela permet de faciliter l'étude analytique et numérique des modèles mathématiques et statistiques. Cependant, la propagation d'une épidémie est un processus multi-échelle inhèrent qui nécessite le couplage d'approches épidémiologiques et immunologiques qui se déroulent sur plusieurs échelles temporelles. Cela conduit à de nouveaux modèles mathématiques complexes tant du point de vue théorique que du point de vue applicatif. Des nouvelles méthodes d'analyses numérique et statistique devront être mises en œuvre pour valider les modèles et les confronter à des données relatives à des cas concrets de maladies infectieuses. Une attention particulière sera portée aux maladies tropicales, à la rougeole et dans le contexte actuel à la COVID-19. Les objectifs de ce projet sont multiples. Les trois prioritées sont : (i) de développer de nouveaux modéles mathématiques multi-échelles, décrits par des équations différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles, pour la propagation des épidémies, avec une application sur l'épidémie actuelle de COVID-19 ; (ii) de développer de nouvelles approches statistiques pour analyser les données disponibles aux échelles immunologiques et épidémiologiques et pour intégrer ces données dans les modèles mathématiques multi-échelles avec le but ultime de valider ces modèles ; (iii) de développer de nouvelles approches numériques et analytiques (par exemple, dans le contexte des systèmes dynamiques et de la théorie de la bifurcation) pour étudier ces modèles multi-échelles. Une attention particulière sera accordée aux méthodes numériques qui nous permettraient d'exécuter simultanément des simulations numériques à plusieurs échelles. Les r ésultats de ce projet interdisciplinaire auront un impact sur diverses autres disciplines, où les processus multi-échelles commencent seulement à être révélés mais où les aspects théoriques et numériques ne sont pas encore totalement développés pour étudier ces processus.

Directeur·ice·s : Louis Jeanjean / Geneviève Dusson

Date de début : 01/10/2024

Sujet : Transport optimal quantique appliqué à des calculs de chimie quantique et aux technologies quantiques

Résumé : Le but de ma thèse de doctorat est de développer la théorie du transport optimal quantique, en proposant des algorithmes efficaces d'interpolation de plusieurs états quantiques. L'étape suivante sera d'utiliser ces algorithmes pour accélérer les calculs de structure électronique en chimie quantique, qui sont numériquement extrêmement coûteux. Plus précisément, nous voulons proposer des approximations rapides pour les solutions d'équations aux dérivées partielles paramétrées par les positions des noyaux dans les molécules étudiées, en interpolant certaines solutions pour des valeurs spécifiques des paramètres.

Directeur·ice·s : Louis Jeanjean / Colette De Coster (U. de Valenciennes)

Date de début : 01/10/2024

Sujet : Existence et propriétés qualitatives des solutions de certaines équations non linéairesdans des graphes métriques

Résumé : Le but de ce projet est l'étude d'équations non linéaires posées sur des graphes. On s'intéressera en particulier à des questions d'existence, de multiplicité de solutions. Des aspects dynamiques seront aussi étudiés.

Directeur·ice·s : Ulrich Razafison / Carlotta Donadello

Date de début :

Sujet : Modélisation de lois de conservation modernes

Directeur·ice·s : Quanhua Xu

Date de début : 01/10/2023

Sujet : Analyse non commutative et applications à la géométrie non commutative

Résumé : L'objet central du présent projet est l'intégration non commutative qui est au cœur des quantifications en physique et mathématiques. L'idée sous-jacente est d'oublier l'axiome de commutativité pour les algèbres de fonctions, ainsi les fonctions sont remplacées par des matrices ou opérateurs. Bien qu'assez ancienne, elle a connu un second départ à la suite de l'émergence des espaces d'opérateurs et des probabilités libres dans les années 1990 qui ont permis de lui donner un bon cadre et surtout de nouveaux outils pour aborder les problèmes de nature analytique des théories quantifiées. L'analyse non commutative fournit également un excellent point de vue pour étudier des questions en géométrie non commutative, comme en témoignent les récents travaux [9,10] de l'équipe de Fedor Sukochev de l'University of New South Wales (Sydney) sur le calcul différentiel quantique d'Alain Connes dans la géométrie non commutative. Les multiplicateurs de Fourier sont des outils primordiaux en analyse non commutative. Ces multiplicateurs ont non seulement leurs propres intérêts et aussi des applications importantes dans les domaines liés tels que la géométrie non commutative (déjà mentionnée plus haut), la théorie des perturbations d'opérateurs, la géométrie des groupes, comme le montrent les récents travaux [4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16]. On peut certainement s'attendre à ce qu'un développement en profondeur d'une théorie des multiplicateurs puisse ouvrir de nouvelles perspectives et fortement impacter le futur des théories quantiques. Cependant, il existe peu de résultats sur la bornitude de ces applications sur Lp non commutatif pour p fini. Plusieurs raisons l'expliquent : la non commutativité rend les choses bien moins maniables, beaucoup d'outils classiques ne sont plus valables. Les recherches sur les multiplicateurs de Fourier ont déjà connu des succès, une théorie de Calderón-Zygmund non commutative commence à se dessiner (voir [1]). Néanmoins, beaucoup reste à faire pour arriver à la richesse de la théorie commutative. Ce sujet de thèse s'inscrit dans le projet de l'ANR intitulé « Analyse non commutative dans les groupes et les groupes quantiques » dont le directeur est le porteur. Il est à la fois un renforcement d'un thème de recherche existant (l'étude de multiplicateurs de Fourier et Schur) du laboratoire de mathématiques de Besançon et aussi un élargissement de champs d'applications dans la géométrie non commutative et l'information quantique. L'équipe autour du porteur du projet a joué un rôle majeur dans le récent développement du sujet, comme le montre la bibliographie ci-dessous. L'objectif de ce projet est de se concentrer en premier lieu sur les développements des théories de multiplicateurs en analyse non commutative mais aussi sur leurs applications dans d'autres directions telles que la géométrie non commutative, la géométrie des groupes et l'information quantique. Le projet vise à établir des théorèmes à la Hörmander-Mikhlin pour les multiplicateurs sur certains groupes, qui conduirait à l'accomplissement d'une théorie de Calderón-Zygmund totalement non commutative. Uffe Haagerup et ses co-auteurs ont obtenu un critère remarquablement élégant sur la bornitude complète des multiplicateurs de Schur sur les algèbres de von Neumann des groupes libres (p égal à l'infini), voir [6,7]. Cependant, il n'existe peu de résultats significatifs sur la bornitude (complète) de ces multiplicateurs sur les espaces Lp associés pour p fini, il s'agit là d'un problème ouvert important de longue date qui fait partie du projet. Un autre sujet étroitement lié est d'élargir la recherche entamée dans [14] sur les groupes de Lie et d'autres groupes de bonne structure, d'une part, et de développer des applications à la convergence des séries ou intégrales de Fourier correspondantes, d'autre part. Le critère obtenu dans [5] ouvre de nouvelles pistes très intéressantes à explorer. Un autre volet est de mettre à profit l'analyse non commutative pour étudier le calcul différentiel quantique sur certains groupes abéliens déformés et leurs produits croisés. Cette piste est tout à fait nouvelle et s'annonce très prometteuse. Un objectif principal est d'établir le théorème d'indice pour le produit croisé tordu d'un groupe abélien et d'une algèbre de von Neumann. Pour cela, il faut d'abord regarder les espaces de Sobolev associés et les commutateurs de multiplicateurs de Fourier et d'opérateur de multiplication par des éléments dans le produit croisé. Là encore l'obtention de versions ad hoc de théorèmes à la Mikhlin sont le verrou principal. Il s'agit d'aller au-delà des techniques de transfert usuelles [4, 13] en tenant compte de la spécificité algébrique. Un troisième volet est de démontrer des inégalités fonctionnelles en utilisant les multiplicateurs de Fourier. Ces inégalités auront des applications à l'information quantique, surtout en ce qui concerne les notions d'entropie quantique (voir [2, 3, 17]). Bibliographie 1. Cadilhac, L. Weak boundedness of Calderón-Zygmund operators on NC L1-spaces. J. Funct. Anal. 274 (2018), 769-796. 2. Carlen, E.A, Lieb, E.H. Optimal hypercontractivity for Fermi fields and related NC integration inequalities. Comm. Math. Phys. 155 (1993), 27-46. 3. Carlen, E, Maas J. Gradient flow and entropy inequalities for quantum Markov semigroups with detailed balance. J. Funct. Anal. 273 (2017), 1810-1869. 4. Caspers, M, Parcet, J, Perrin, M, Ricard, É. Noncommutative de Leeuw theorems. Forum Math. Sigma 3 (2015), e21, 59 pp. 5. Conde-Alonso, J.M.; González-Pérez, A.M.; Parcet J. and Tablate, E. Schur multipliers in Schatten-von Neumann classes arXiv:2201.05511, accepté à Ann. of Math. 6. Haagerup, U, de Laat, T. Simple Lie groups without the approximation property. Duke Math. J. 162 (2013), 925-964. 7. Haagerup, U, Steenstrup, T, Szwarc, R. Schur multipliers and spherical functions on homogenous trees. Internat. J. Math. 21 (2010), 1337-1382. 8. Lafforgue, V, de la Salle, M. NC Lp-spaces without the CBAP. Duke. Math. J. 160 (2011), 71-116. 9. McDonald, E, Sukochev, F, Xiong, X. Quantum differentiability on quantum tori. Comm. Math. Phys. 371 (2019), 1231-1260. 10. McDonald, E, Sukochev, F, Xiong, X. Quantum Differentiability on Noncommutative Euclidean Spaces. Comm. Math. Phys. 379 (2020), 491-542. 11. Mei, T, Ricard, É. Free Hilbert Transforms. Duke Math. J. 166 (2017), 2232-2250. 12. Mei, T, Ricard, É, Xu, Q A Mikhlin multiplier theory for free groups and amalgamated free products of von Neumann algebras. Adv. Math. 403 (2022), article 108394. 13. Neuwirth, S, Ricard, É. Transfer of Fourier multipliers into Schur multipliers and sumsets in discrete group. Can. J. Math. 63 (2011), 1161-1187. 14. Parcet, J, Ricard, É, de la Salle, M. Fourier multipliers in SLn(R). Duke Math. J. 171 (2022), 1235-1297. 15. Potapov, D, Sukochev, F. Operator-Lipschitz functions in Schatten-von Neumann classes. Acta Math. 207 (2011), 375-389. 16. Ricard, É, Xu, Q. A noncommutative martingale convexity inequality. Ann. Probab. 44 (2016), 867-882 17. Zhang, H. Carlen-Frank-Lieb conjecture and monotonicity of α−z Rényi relative entropy. Adv. Math. 365 (2022), article 107053.

Directeur·ice·s : COTUTELLE Yulia Kuznetsova / Michael Ruzhansky (U. Ghent)

Date de début : 01/12/2021

Sujet : Multiplicateurs sur des groupes de Lie de croissance exponentielle

Résumé : L'étude des multiplicateurs a de nombreuses motivations, et la nôtre est dans l'application au comportement des solutions des équations différéntielles, entre autres l'équation des ondes. La bornitude de fonctions de l'opérateur de Laplace décrit la régularité des solutions en fonction de la régularité des données initiales. Cette théorie est classique dans Rn et est marquée par les théorèmes majeurs de Hörmander et Mikhlin. Sur des groupes de Lie, le cas de croissance polynomiale est compris assez bien et possède de nombreuses similitudes avec la cas euclidien. Quant à la croissance exponentielle, les résultats sont très divers et dépendent fortement de la géométrie du groupe en question. Il est connu, par exemple, que sur un groupe semisimple seules des fonctions holomorphes engendres des multiplicateurs Lp, lorsque sur les groupes de type AN il suffit d'avoir un nombre fini de dérivées à la décroissance suffisamment rapide. Le projet envisage à developper les résultats obtenu dans Rauan Akylzhanov, Yulia Kuznetsova, Michael Ruzhansky, and Haonan Zhang, Norms of certain functions of the Laplace operator on the `ax+b' groups, arXiv :2101.00584 [math.FA]. Les groupes considérés dans cet article sont un cas particulier des groupes de type AN, de rank réel 1 et N commutatif. Autre résultats existants suggère qu'une généralisation serait possible, au cas de rang supérieur et / ou N non-commutatif nilpotent.

Directeur·ice·s : Jean-Robert Belliard

Date de début : 01/09/2023

Sujet : Théorie d'Iwasawa, systèmes d'Euler et théorie de Hodge p-adique

Résumé : La spécialité de recherche qui accueillera la thèse de M. Souanef sera l'arithmétique. Cette spécialité se démarque par la simplicité des énoncés et des questions qu'elle porte. Cette simplicité doit être mise en perspective avec l'incroyable diversité et la profondeur des mathématiques d'autres domaines utilisées pour répondre à ces questions. On peut dire que toutes les mathématiques s'appliquent à l'arithmétique : on y trouve des preuves qui reposent sur des techniques de statistiques, de probabilités ou bien provenant de la géométrie la plus abstraite en passant par l'analyse complexe, réelle, p-adique ou encore la théorie des distributions. L'arithmétique elle même trouve des applications aux sciences de l'information par exemple à travers la cryptographie. Le problème qui sera étudié par M. Souanef portera plus particulièrement sur les ponts entre la théorie d'Iwasawa et les systèmes d'Euler d'une part et la théorie de Hodge p-adique d'autre part.

Directeur·ice·s : CIFRE Camelia Goga / Jihad El Naoulsi (UFC) / Jean-Luc Marini (OpenStudio)

Date de début : 01/09/2023

Sujet : Prédire l'impact des transformations de filières industrielles au niveau régional, national, européen ou international

Résumé : Dans un contexte de réchauffement climatique, les entreprises industrielles ont des objectifs de réduction d'émissions de gaz à effet de serre. Pour cela, elles doivent modifier leurs activités. Une transformation d'activité à l'échelle d'une ou plusieurs entreprises industrielles peut totalement changer l'écosystème industriel auquel elle appartient. L'objectif de cette thèse est donc de modéliser les différents effets possibles des transformations de filières industrielles sur leurs écosystèmes. Pour répondre aux problématiques de transformations de filières industrielles, un modèle basé sur les systèmes complexes adaptatifs sera étudié. La modélisation de l'adaptation de la chaîne d'approvisionnement face aux perturbations utilise les systèmes adaptatifs complexes.

Directeur·ice·s : COTUTELLE Quanhua Xu / Zhi Yin (Harbin Institute of Technology)

Date de début : 12/11/2021

Sujet : Les réseaux de tenseurs quantiques dans une approche aléatoire

Résumé : Ce projet consiste à étudier les réseaux de tenseurs quantiques dans une approche aléatoire. De manière générale, un réseau de tenseurs est une famille dénombrable de tenseurs connectés par des contractions, qui est largement utilisée en théorie de l'information quantique, en physique de la matière condensée et en informatique. Par exemple, le système de spin quantique à plusieurs corps est une notion importante en physique de la matière condensée car il englobe de nombreux phénomènes physiques intéressants et surprenants, tels que les transitions de phase. Cependant, il n'est pas facile de traiter de tels systèmes en raison de la croissance exponentielle de l'espace de Hilbert associé avec le nombre de particules. Une idée clé pour faire face à cette difficulté est que seul un petit sous-ensemble est occupé par des états naturels de modèles quantiques de nombreux corps. À savoir, nous pouvons utiliser des états de réseau tensoriel pour représenter les états fondamentaux de modèles quantiques de nombreux corps (espaces). Les réseaux de tenseurs les plus connus sont les états produits matriciels (MPS) en dimension 1, qui suivent l'idée de la méthode du groupe de renormalisation de la matrice de densité. Outre le MPS, il existe de nombreux autres réseaux de tenseurs, par exemple les états de paires intriquées projetées (PEPS), qui généralisent le MPS à des dimensions supérieures ; trains de tenseurs (TT) ; réseaux de tenseurs arborescents (TTN) et ainsi de suite. Les systèmes quantiques peuvent être simulés plus efficacement en utilisant ces certains réseaux de tenseurs. L'aléatoire est un ingrédient clé dans notre projet, qui peut fournir des propriétés plus intéressantes. Par exemple, l'impureté du silicium est la clé de la semi-conductivité, ce qui peut être expliqué en utilisant le modèle de liaison étroite avec un potentiel aléatoire. Il est donc naturel de se poser la question suivante : caractériser quelles caractéristiques des réseaux de tenseurs quantiques sont génériques et lesquelles sont, au contraire, exceptionnelles. Ou il peut être reformulé comme suit : étant donné un réseau de tenseurs échantillonné au hasard, quelles sont les caractéristiques qu'il affiche avec une probabilité élevée ou faible ? C'est un programme très ambitieux et il se déroulera tout au long de ma période de doctorat. Au début, nous essaierons d'aborder les problèmes de défi ci-dessus dans quelques exemples concrets. Une caractéristique importante est le principe de l'entropie maximale. Ce principe joue un rôle central dans les fondements de la mécanique statistique. B. Collins et.al ont étudié le cas du MPS. Un projet en cours est le problème suivant : qu'en est-il de l'ensemble donné par des PEPS échantillonnés au hasard ? Pour attaquer le problème ci-dessus, nous nous référerons principalement à B. Collins et. al, où le calcul de Weingarten joue un rôle important. Le calcul de Weingarten traite principalement de l'intégration sur le groupe unitaire. Et ces dernières années, il est devenu un outil mathématique important dans l'étude de la théorie de l'information quantique. En outre, une analyse très minutieuse des réseaux de tenseurs connexes est également nécessaire.