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Analyse Numérique et Calcul Scientifique

Le séminaire a lieu le jeudi, à 11h, en salle 316 du bâtiment de
Métrologie (plan d’accès).

Vous trouverez ci-dessous le planning du séminaire
d’Analyse Numérique et Calcul Scientifique pour l’année universitaire en cours.

Pour contacter le responsable (Alexei Lozinski) :
alexei.lozinski univ-fcomte.fr.

Exposés à venir :

- Jeudi 23 octobre 2014, à 11h : Assyr Abdulle (MATHICSE, EPFL)
Quelques exemples d’homogénéisation numérique

- Jeudi 27 novembre 2014, à 11h : Grégory Vial (Ecole Centrale de Lyon)
Prise en compte de micro-défauts : de l’analyse asymptotique au calcul de profils
On considère des problèmes en mécanique ou électromagnétisme décrits par des EDP elliptiques qui comportent un petit paramètre (ici relatif à une caractéristique géométrique : taille d’un trou, ou d’une hétérogénéité.). Dans diverses situations, l’analyse asymptotique lorsque le paramètre tend vers 0 fait intervenir un problème non coercif pour lequel les questions d’existence et d’unicité sont non triviales. On détaillera l’exemple d’un trou dans le domaine et le calcul de profils associés dans un domaine non borné. Il s’agit d’un travail issu de collaborations avec V. Bonnaillie-Noël, D. Brancherie, M. Dambrine, F. Hérau, D. Martin et S. Tordeux.

- Jeudi 11 décembre 2014, à 11h : Julien Dambrine (LMA, Université de Poitiers)

Exposés passés :

- Jeudi 3 octobre 2013 : Céline Caldini-Queiros (Laboratoire de Mathématiques de Besançon)

Analyse mathématique et numérique des modèles gyro-cinétiques


On étudie les gyro-moyennes des opérateurs de collision linéaires (relaxation, Fokker-Planck), mais aussi non linéaires (Fokker-Planck-Landau). Côté numérique, nous présentons un schéma micro-macro, utilisant les propriétés de l’opérateur de gyro-moyenne.

- Jeudi 17 octobre 2013 : Nabile Boussaid (Laboratoire de Mathématiques de Besançon)


Encadrement de valeurs propres et applications à l’opérateur de Maxwell


En collaboration avec Gabriel Barrenechea et Lyonell Boulton
Je présenterai une méthode numérique pour estimer les fréquences propres d’un champs de phaseurs pour une cavité (bornée) résonante en milieu anisotropique. Nous obtenons des taux de convergence optimaux pour des éléments finis standards.
La méthode numérique mise en œuvre s’applique dans un cadre très générale qui permet de trouver des bornes supérieures et inférieures des valeurs propres, et compter les multiplicités associées, d’opérateurs autoadjoints.

- Jeudi 7 novembre 2013 : Marco Picasso (MATHICSE, EPFL)


Anisotropic error estimates and space adaptivity for a semi-discrete finite element approximation of the transient transport equation

A stabilized semi-discrete finite element discretization of the transient transport equation is studied in the framework of anisotropic meshes. A priori and a posteriori error estimates are derived, the involved constants being independent of the mesh aspect ratio, only space discretization being considered.
Numerical results on non adapted, anisotropic meshes and small time steps confirm the sharpness of the theoretical predictions. An anisotropic, adaptive finite element algorithm is then proposed with goal to control the $L^2$ error in space at final time, the time step being kept constant. Numerical results are then presented on anisotropic, adapted meshes and small time steps. Numerical results indicate that the quality of the results may depend on the method used to interpolate the numerical solution between two adapted meshes.

- Jeudi 14 novembre 2013 : Léon-Matar Tine (Institut Camille Jordan, Lyon)

Problème inverse pour un modèle de croissance-fragmentation en dynamique de population

Les équations de croissance-fragmentation apparaissent dans différents contextes tels en division cellulaire, en polymérisation des protéines, en neurosciences etc. L’observation directe de la dynamique temporelle est souvent difficile et nécessite l’élaboration d’outils théoriques et numériques pour estimer certains paramètres de l’équation à partir d’une mesure indirecte de sa solution. Dans le cas spécifique de la division cellulaire, on s’intéresse à l’estimation du taux de division cellulaire par une approche déterministe en résolvant un problème inverse à partir de l’observation de la solution asymptotique en temps lorsque le noyau de fragmentation et le taux de croissance
des cellules sont assez généraux.

- Jeudi 28 novembre 2013 : Jacques Rappaz (MATHICSE, EPFL)

Convection-diffusion problems with Robin boundary conditions.
Application to a solidification problem

Joint work with Stephane Flotron
When a material occupying a cavity $\Omega$ is in a liquid state at time $t = 0$ submitted to some motions and which is gradually solidified when the time goes up, it is important to correctly satisfy an energy balance in order to proceed to a realistic numerical simulation. When the liquid state is incompressible, the convection velocity has to be exactly divergence free for not artificially losing energy. Unfortunately, in a lot of numerical schemes, the approximation of the velocity is not exactly divergence free and consequently the discretization of the heat equation with convection produces unwelcome numerical effects !
In this talk, we present a new numerical scheme for convection-diffusion problems with Robin boundary conditions producing the conservation of energy and other properties even if the velocity field is not exactly divergence free. We prove that this scheme is stable and convergent. When we apply this numerical scheme to a solidification problem, we verify that the total energy for cooling and solidification of the material together with the energy which is passing through the boundary is conserved.

- Vendredi 6 décembre 2013 : Claire Chainais-Hillairet (Université Lille 1)

Inégalités de Beckner et méthode d’entropie pour l’équation des milieux poreux : du continu au discret

Dans cet exposé, on s’intéressera au comportement en temps long de solutions approchées d’une équation de diffusion non linéaires. La décroissance en temps, polynômiale ou exponentielle, d’entropies discrètes est obtenue par une méthode d’entropie-dissipation. Un élément crucial de la preuve est l’obtention d’inégalités de Beckner discrètes.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec A. Jüngel et S. Schuchnigg (TUWien).

- Jeudi 9 janvier 2014 : Romain Duboscq (Université de Lorraine)

Développement de méthodes numériques précises et robustes pour le calcul d’états stationnaires d’équations de Gross-Pitaevskii. Application aux condensats de Bose-Einstein en rotation rapide

Le but de cette exposé est de proposer des méthodes numériques précises et robustes pour déterminer les états stationnaires de l’équation de Gross-Pitaevskii dans le cadre des condensats de Bose-Einstein. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas où le condensat est en rotation est rapide. On donnera quelques exemples de calculs numériques obtenus grâce à la toolbox Matlab GPELab développée en collaboration avec Xavier Antoine et distribuée sous licence libre.

- Jeudi 23 janvier 2014 : Julien Salomon (Université Paris-Dauphine, Ceremade)

Une méthode d’optimisation monotone issue du contrôle quantique. Étude, développement et applications

On présente une méthode d’optimisation spécifique, "les algorithmes monotones" dédiée à une classe assez large de problèmes de contrôle optimal non-linéaires. Cette méthode, initialement introduite par des chimistes dans le cadre du contrôle quantique, s’avère très efficace (c’est-à-dire stable et rapide) en pratique. Nous présentons les idées de base permettant de concevoir ce type d’algorithme et expliquons la nécessité d’une discrétisation spécifique. La suite de l’exposé concerne d’une part une procédure de parallélisation en temps adaptée à cette approche et d’autre part la preuve mathématique de la convergence des algorithmes monotones.

- Jeudi 30 janvier 2014 : Sébastien Court (Université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand)

Stabilisation d’un système fluide-solide par la déformation du solide autopropulsé

Dans cet exposé, nous étudions la stabilisation à zéro - avec un taux de décroissance exponentiel arbitraire - des vitesses d’un système couplé fluide-solide, pour lequel le contrôle considéré n’est rien d’autre que la déformation du solide qui est immergé dans le fluide supposé visqueux et incompressible. Cette déformation doit satisfaire à un ensemble de contraintes non linéaires, notamment celles qui confèrent au solide nageur un caractère autopropulsé. Le système considéré couple les équations de Navier-Stokes incompressibles (pour l’état du fluide) avec les lois de Newton (pour la dynamique du solide), à l’aide en particulier de l’égalité des vitesses à l’interface fluide-solide.
Nous prouvons d’abord que le système linéarisé est approximativement contrôlable à 0 pour tout temps $T>0$, puis stabilisable à 0 en horizon de temps infini, à l’aide d’un contrôle frontière qui peut être choisi sous la forme d’un opérateur feedback. Ce contrôle frontière peut être obtenu comme la trace d’une déformation solide satisfaisant les contraintes linéarisées. Cette déformation est alors projetée sur une variété régulière qui prend en compte les contraintes non linéaires. Cette méthode permet de décomposer la déformation du solide en deux parties : une qui stabilise la partie linéaire du système, et une résiduelle qui a de bonnes propriétés Lipschitz. Nous prouvons enfin la stabilisation du système non linéaire à l’aide d’une méthode de point fixe contractant, pour des perturbations assez petites représentées par les données initiales.

- Jeudi 13 février 2014 : Marek Bucki (TIMC-IMAG, Université Joseph Fourier, Grenoble)

Mise en oeuvre de la modélisation biomécanique des tissus biologiques dans le domaine médical.

En théorie il n’y a pas de différence entre la théorie et la pratique, mais en pratique si.


La prédiction du comportement des tissus mous (graisse, muscles, tendons) soumis à des contraintes externes est indispensable à un grand nombre d’applications médicales telles que la chirurgie assistée par ordinateur ou les dispositifs de prévention de certaines pathologies. La méthode des éléments finis est souvent utilisée pour élaborer ces simulations mais le champ d’application médical met à l’épreuve les méthodes mathématiques rigoureusement établies en les confrontant à des conditions d’exploitation difficiles. En effet une piètre qualité des images médicales décrivant les domaines à discretiser, une connaissance insuffisante des lois de comportement des tissus biologiques, un flou artistique autour des conditions aux limites à appliquer au modèle doivent bien souvent être conciliés avec des contraintes fortes de temps de réponse, d’interactivité et de robustesse du modèle. Pour ne rien simplifier, ces simulations doivent pouvoir être produites sur un grand nombre de cas, chaque patient ayant des spécificités morpho-physiologiques devant être prises en compte ; et de la manière la plus automatique possible afin de rendre ces innovations acceptables par les cliniciens.
Après une brève présentation du domaine des Gestes Médico-Chirurgicaux Assistés par Ordinateur (GMCAO) je vous propose d’explorer ce contexte hostile à travers deux cas concrets de mise en oeuvre : la neurochirurgie des tumeurs cérébrales assistée par ordinateur et la prévention individualisée des ulcères de pression.

- Jeudi 20 février 2014 : Julien Rolland (Laboratoire de Mathématiques de Besançon)

Étude statistique des chemins de premier retour aux nombres de Knudsen intermédiaires : De la simulation par méthode de Monte-Carlo à l’utilisation de l’approximation de diffusion


Nous aborderons la problématique de la modélisation puis de la simulation du phénomène de diffusion au sein de milieu turbide dans le cadre du transfert radiatif.
Dès que la taille du système considéré est grande devant la distance moyenne entre deux diffusions, la technique la plus communément employée pour représenter simplement la statistique des chemins de multi-diffusion est l’approximation de diffusion. Cependant, cette approximation n’est pas valable pour les chemins optiques correspondant à des photons ne subissant que quelques diffusions. Or ces trajets "courts" sont nombreux dans les problèmes de premier retour. Une approche passant par la modélisation des chemins de premier passage, c’est à dire dans lesquels les photons partent de l’intérieur du domaine, sera présentée menant à un formalisme où l’usage de l’approximation de diffusion est valable.
Cette idée est explorée en détail, à travers notamment un ensemble de simulations numériques de type Monte-Carlo, puis plus théoriquement en analysant ces statistiques de chemin depuis les très faibles nombres de Knudsen, où la technique assure de très bons niveaux de précision, jusqu’à des nombres de Knudsen intermédiaires. Nous aboutissons à la proposition d’un modèle assurant un bon niveau de précision, pour une large plage de valeurs du nombre de Knudsen, en ce qui concerne l’évaluation des moments de la distribution des longueurs de chemin.
Cette présentation est issue des travaux doctoraux entrepris aux laboratoires RAPSODEE d’Albi et LAPLACE de Toulouse et soutenus en 2009.

- Jeudi 20 mars 2014 : Andrew Comech (Texas A&M University and IITP, Moscow)

Numerical analysis of spectral stability of solitary waves in nonlinear Dirac equation

- Jeudi 10 avril 2014 : El Hadji Koné
Approximation multi-couches pour un transport hydro-sédimentaire
Considérant des écoulements fluidiques assez profonds ou ayant des coefficients de viscosité élevés avec des effets significatifs des forces extérieures, l’approximation par les hypothèses classiques de Saint-Venant consistant à négliger les variations verticales de la vitesse ne sont plus admissibles. Pour pallier cette limitation, on introduit une modélisation, dite de Saint-Venant multi-couches, qui consiste à stratifier la hauteur du fluide en plusieurs couches relativement fines afin d’y appliquer ces hypotèeses classiques. Nous développons cette approche, multi-couches, pour un écoulement hydraulique transportant et dispersant des sédiments constitués de petites particules solides de différentes espèces. Ces espéces sont caractérisées par leurs tailles et leurs densités. Le problème est modélisé en combinant l’approche multi-couches et un modèle de dispersion de sédiments pour une simple couche formulé dans la littérature. La démarche fournit un système de structure hyperbolique, ayant aussi bien des termes conservatifs que des produits non conservatifs et des termes sources, que nous resolvons par des schémas volumes finis. Nous exploitons les méthodes PVM (Polynomial Viscosity Matrix) qui constituent une classe de solveurs volumes finis rapides pour des systèmes hyperboliques conservatifs ou non conservatifs. Ces méthodes définissent la matrice de viscosité du schéma, par une évaluation polynomiale de la matrice de Roe. L’avantage de ces méthodes est qu’elles ne nécessitent que très peu d’information sur les valeurs propres du système et qu’aucune décomposition spectrale de la matrice de Roe n’est nécessaire. Par conséquent, elles sont plus rapides que celle de Roe. En outre, les méthodes PVM peuvent être vues comme une généralisation de divers schémas classiques dans le sens où ceux-ci peuvent être redéfinis sous ces formes.

- Mardi 1 juilllet 2014, à 11h : Alfonso Caiazzo (WIAS Berlin)
Multiscale modeling of weakly compressible elastic materials in harmonic regime

This talk focuses on the modeling of elastic materials composed by an incompressible elastic matrix and small compressible gaseous inclusions, under a time harmonic excitation. In a biomedical context, this model describes the dynamics of a biological tissue (e.g. liver) when wave analysis methods (such as Magnetic Resonance Elastography) are used to estimate tissue properties. Due to the multiscale nature of the problem, direct numerical simulations are prohibitive.
First, we extend to the time harmonic regime a recently proposed homogenized model [Baffico et al. SIAM MMS, 2008] which describes the solid-gas mixture as a compressible material in terms of an effective elasticity tensor. As next, we derive and validate numerically analytical approximations for the effective elastic coefficients in terms of macroscopic parameters only. This simplified description is used to to set up an inverse problem for the estimation of the tissue porosity, using the mechanical response to external harmonic excitations.