Laboratoire de Mathématiques de Besançon - UMR 6623 CNRS
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Séminaire et groupe de travail d’Algèbre et Théorie des Nombres

par Armana Cécile, David Agnès - publié le , mis à jour le

  • Le séminaire a lieu le mardi de 13h45 à 15h en salle 324-2B du bâtiment de Métrologie : plan d’accès.
  • Ci-dessous, le programme du séminaire pour l’année 2019. Pour retrouver les exposés des années précédentes : archives.

Exposés et évènements à venir :

  • Mardi 15 octobre 2019 : Pierre Parent (Bordeaux)

Géométrie d'Arakelov des courbes modulaires.


La conjecture de Mordell, démontrée par Faltings en 1983, illustre de façon frappante le principe selon lequel "la topologie décide de l’arithmétique" : toute courbe algébrique sur un corps de nombres, de genre supérieur ou égal à 2, n’a qu’un nombre fini de points à valeur dans ce corps.

Les méthodes diophantiennes ont permis à Vojta de donner en 1991 une nouvelle preuve, sans doute plus naturelle, du théorème de Mordell-Faltings. Mais ces approches sont toutes deux intrinsèquement non effectives : elle ne permettent pas de majorer explicitement la hauteur des points rationnels de la courbe. Cela signifie qu’elles ne fournissent pas de méthode, même algorithmique, pour déterminer la liste des points (et éventuellement décider la question diophantienne classique qui est de savoir s’il en existe de non triviaux).

Dans cet exposé nous expliquerons pourquoi la géométrie et l’arithmétique des courbes modulaires rend la question du contrôle de la hauteur des points beaucoup plus abordable.

  • Mardi 12 novembre 2019 : Floric Tavares-Ribeiro (Caen)

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  • Mardi 26 novembre 2019 : Wouter Castryck (Leuven)

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  • Mardi 10 décembre 2019 : Cornelius Greither (Munich)

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  • Mardi 7 janvier 2020 : Cristiana Bertolin (Turin)

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  • Mardi 14 janvier 2020 : Fabien Pazuki (Bordeaux/Copenhague)

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  • Mardi 21 janvier 2020 : David Loeffler (Warwick)

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  • Mardi 11 février 2020, 13h45 : Elisa Lorenzo García (Rennes)

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  • Mardi 11 février 2020, 15h15 : Christophe Ritzenthaler (Rennes)

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  • Mardi 18 février 2020, 13h45 : Nicolas Billerey (Clermont-Ferrand)

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  • Mardi 3 Mars 2020, 13h45 : Tuan Ngo Dac (Lyon)

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  • Mardi 26 mai 2020, 13h45 : Ramla Abdellatif (Amiens)

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Archives :

Janvier 2017

  • Jeudi 19 janvier : Gabor Wiese (Luxembourg)

Sur les représentations galoisiennes des formes modulaires de Hilbert de poids un en caractéristique p


Dans cet exposé, je vais donner les idées principales de mon travail avec Mladen Dimitrov dans lequel nous démontrons que la représentation galoisienne associée à toute forme modulaire de Hilbert de poids un en caractéristique p et de niveau premier à p est non-ramifiée en p. Ce résultat s’applique notamment à des formes qui ne se relèvent pas en caractéristique zéro, et peut être vu comme la précision d’un aspect du poids dans la généralisation de la conjecture de modularité de Serre aux formes de Hilbert.

Mars 2017

  • Jeudi 9 mars : Filippo Nuccio (Saint-Étienne)

Quotients de nombres de classes dans les extensions diédrales et pro-diédrales de Q


Depuis les premiers travaux de Dirichlet sur les extensions biquadratiques de Q, on sait que certains propriétés des représentations entières du groupe de Galois d’une extensions L/Q se reflètent dans des relations entre les nombres de classes des sous-corps de L. Cela a été généralisé par Brauer et Kuroda, qui ont montré dans les années ’50 comment traduire les propriétés en question en termes analytiques, puis en valeurs numériques qui représentent les nombres de classes : et ceci pour une vaste famille de groupes de Galois, mais au prix d’obtenir des relations peu explicites et faisant intervenir des indices d’unités peu maniables. Suite à leurs travaux, on a cherché à rendre les relations qu’ils trouvaient de plus en plus explicites, au moins dans des cas particuliers et on a atteint des résultats plutôt satisfaisants pour les extensions diédrales L/Q d’ordre 2p, avec p premier impair.
Dans ce travail en commun avec Luca Caputo on généralise les dits résultats aux extensions diédrales d’ordre 2p^n, en simplifiant les preuves, en les rendant purement algébriques tout en se débarrassant des indices d’unités, et on les applique à l’étude de la croissance des nombres des classes dans des extensions pro-dihédrales.

  • Jeudi 16 mars : Elisa Lorenzo García (Rennes)

Sur les premiers à mauvaise réduction des courbes de genre 3 avec CM


Avec la méthode de la multiplication complexe on peut produire des courbes sur des corps finis avec un nombre de points donnés. Un point clé est de contrôler les dénominateurs dans les polynômes de classes pour les calculer par évaluation numérique. Pour les courbes de genre 1, les dénominateurs sont triviaux. Pour le cas de genre 2, ils sont calculés par Lauter et Viray : on doit calculer les premiers de mauvaise réduction de certaines courbes de genre 2 avec CM. Pour le cas de genre 3, la situation est beaucoup plus difficile. La première étape est de contrôler les premiers de mauvaise réduction pour les courbes de genre 3 avec CM. Dans cet exposé on montrera comment le faire en suivant des travaux en collaboration : Bouw et al. 2015, et Kilicer et al. 2017.

  • Jeudi 30 mars : Michel Broué (Paris 7)

Systèmes de racines cyclotomiques (travail en commun avec Ruth Corran et Jean Michel)


Pour chaque groupe de réflexions complexe irréductible, pas nécessairement défini sur $\mathbb{Q}$ (ce serait alors un groupe de Weyl) mais défini sur une extension abélienne $K$ de $\mathbb{Q}$ d’anneau des entiers $\mathbb{Z}_{K}$, nous définissons et classifions les $\mathbb{Z}_K$-systèmes de racines, ainsi que les réseaux de racines et de coracines. Apparait alors un fait surprenant : si le groupe de réflexions est "spetsial", l’ordre du groupe est divisible par la factorielle du rang multiplié par l’indice de connexion, et le reste est constitué des mauvais nombres premiers pour le "Spets" correspondant --- exactement comme pour le cas des groupes de Weyl et de leurs groupes réductifs finis.

Avril 2017

  • Mercredi 5 avril : (deux séances exceptionnelles, de 14h à 16h en salle 316B-bis)

Guoniu Han (Strasbourg)

Irrationality exponents and Hankel determinants

Huan Xiong (Strasbourg)

Some new formulas for integer partitions

  • Jeudi 6 avril : (séminaire à 14h30, exceptionnellement) Bouchaïb Sodaïgui (Valenciennes)

Structure de module galoisien d'anneaux d'entiers et codes cycliques

Soient $k$ un corps de nombres, $\Gamma$ un groupe fini et $Cl(O_k[\Gamma])$ le groupe des classes des $O_k[\Gamma]$-modules localement libres. On note $\mathcal{R}(O_k[\Gamma])$ le sous-ensemble de $Cl(O_k[\Gamma])$ formé par les classes d’anneaux d’entiers $O_N$ d’extensions galoisiennes modérées $N/k$, avec $Gal(N/k) \cong \Gamma$ ; $\mathcal{R}(O_k[\Gamma])$ est appelé l’ensemble des classes galoisiennes réalisables. Nous déterminons $\mathcal{R}(O_k[\Gamma])$, et montrons que c’est un sous-groupe de $Cl(O_k[\Gamma])$, au moyen d’une description utilisant un idéal de Stickelberger et des propriétés de certains codes cycliques, lorsque $k$ contient une racine de l’unité d’ordre premier $p$ et $\Gamma=V \rtimes C$, où $V$ est un groupe élémentaire abélien d’ordre $p^r$ et $C$ est un groupe cyclique d’ordre $m>1$ agissant fidèlement sur $V$ et rendant $V$ un $\mathbb{F}_p[C]$-module irréductible. Ceci généralise et raffine des résultats de Byott, Greither et Sodaïgui [J. reine angew. Math., 601, 2006, 1—27] pour $p=2$, respectivement de Bruche et Sodaïgui [J. Number Theory, 128, (2008), 954—978] pour $p>2$, lesquels couvrent seulement le cas $m=p^r-1$ et déterminent seulement l’image $\mathcal{R}(\mathcal{M})$ de $\mathcal{R}(O_k[\Gamma])$ sous l’extension des scalaires de $O_k[\Gamma]$ à un ordre maximal $\mathcal{M} \supset O_k[\Gamma]$ dans $k[\Gamma]$. Le résultat principal ici généralise donc la description de $\mathcal{R}(O_k[A_4])$ pour le groupe alterné $A_4$ de degré 4 (le cas $p=r=2$) donnée par Byott et Sodaïgui dans [Compositio Math. 141, (2005), 573—582].

  • Jeudi 13 avril : Ramla Abdellatif (Amiens)

Extensions entre modules simples de Iwahori-Hecke pour SL(2,F) en caractéristique naturelle


Soit $p$ un entier premier et soit $F$ un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle $p$ et de corps résiduel fini. En caractéristique $p$, les modules de Iwahori-Hecke d’un groupe réductif $p$-adique apparaissent naturellement dans l’étude des représentations lisses de ce groupe comme espaces de vecteurs invariants sous l’action de pro-$p$-sous-groupes d’Iwahori, et leur compréhension peut apporter des informations utiles sur les représentations sus-mentionnées, qui sont encore bien mal comprises.
Les travaux présentés dans cet exposé s’intéressent plus spécifiquement au cas du groupe spécial linéaire de rang 1. Dans une première partie, nous expliquerons plus précisément les motivations qui les sous-tendent, et rappellerons quelques résultats de classification des modules simples de Iwahori-Hecke de $\mathrm{SL}_2 (F)$. Dans une seconde partie, nous présenterons quelques résultats concernant la compréhension de leurs espaces d’extensions et leurs liens avec la théoriedes représentations modulo $p$ de $\mathrm{SL}_2 (F)$.

Mai 2017

  • Jeudi 4 mai : Philippe et Pierrette Cassou-Noguès (Bordeaux) (deux exposés)

Philippe Cassou-Noguès : G-formes, twists et périodes


Soit $K$ un corps de caractéristique différente de 2 et $G$ un schéma en groupes sur $K$. On peut associer par ”twistage” à toute $G$-forme $q$ et à tout $G$-torseur $T$ une forme $q_T$ de rang égal à celui de $q$. On donnera des formules de comparaison des invariants de Hasse-Witt de ces formes. On appliquera ces formules à l’étude de la forme trace de $L/K$ lorsque $G$ est un schéma en groupes constant et $T$ est associé à une $G$-algèbre galoisienne $L/K$. Plus généralement on comparera les invariants de Hasse-Witt des différentes réalisations d’un objet quadratique d’une catégorie tannakienne. On traitera l’exemple des motifs de Nori. Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec T. Chinburg, B. Morin et M.J. Taylor.

Pierrette Cassou-Noguès : Fibre de Milnor motivique et algorithme de Newton


Après avoir rappellé la définition de la fibre de Milnor motivique introduite par Denef et Loeser, nous donnerons les idées principales pour la calculer à l’aide de l’algorithme de Newton et nous appliquerons le résultat pour généraliser un théorème de Kouchnirenko.

  • Jeudi 11 mai : Bora Yalkinoglu (Strasbourg)

Sur l’analogue elliptique d’une conjecture de Shintani


Dans l’exposé on va expliquer une conjecture ouverte de Shintani qui prédit un lien entre certains valeurs spéciales de la fonction gamma hyperbolique et des extensions abéliennes d’un corps réel quadratique. Ensuite on va expliquer comment la fonction gamma elliptique et l’équation de Yang-Baxter apparaissent naturellement dans la variante elliptique de la conjecture de Shintani, qui concerne la théorie classique de la multiplication complexe pour les corps imaginaires quadratiques et indiquer l’intérêt de cette observation pour le cas d’un corps réel quadratique.

Juin 2017

  • Jeudi 1er juin : Jean Gillibert (Toulouse)

Surfaces elliptiques et jacobiennes de courbes trigonales


On considère une fibration elliptique E sur la droite projective sur un corps k. Si p est un nombre premier, les points d’ordre p de E sont paramétrés par une courbe C munie d’un morphisme de degré p^2-1 vers P^1_k. Nous montrons comment on peut, grâce à la théorie de Kummer, spécialiser les sections de E dans la p-torsion de la jacobienne de C.
Cela permet de construire des courbes dont la jacobienne a beaucoup de p-torsion à partir de courbes elliptiques de grand rang sur k(t).
Une autre conséquence est de fournir une borne sur le rang de E(k(t)), qui est équivalente à celle donnée par l’inégalité d’Igusa quand k est algébriquement clos. Il s’agit d’un travail en commun avec Aaron Levin (MSU).

Janvier 2018

  • Lundi 15 au vendredi 19 janvier : 10ème Atelier PARI/GP

Évènement organisé conjointement avec l’Institut de Mathématiques de Bordeaux dans le cadre des Conférences du LmB. Voir le site web de l’atelier.

  • Jeudi 25 janvier : Vincent Bosser (Caen)

Sur l'indépendance algébrique des logarithmes $P$-adiques de Carlitz.


Notons $k={\mathbb F}_q(T)$. En 2008, Papanikolas a démontré que si des logarithmes de Carlitz d’éléments de $\bar{k}$ sont linéairement indépendants sur $k$, alors ils sont algébriquement indépendants sur $k$.
Il existe un analogue $P$-adique de cet énoncé, mais qui reste conjectural. On présentera dans cet exposé la conjecture, ainsi que quelques résultats partiels en direction de celle-ci.

Avril 2018

  • Jeudi 5 avril : Jishnu Ray (Orsay)

Iwasawa algebras of $p$-adic Lie groups and Galois representations with open image.


A key tool in the study of algebraic number fields are Iwasawa algebras, originally constructed by Iwasawa in the 1960’s to study the "class groups" of fields, but since appearing in varied settings such as a Lazard’s work on $p$-adic Lie groups and Fontaine’s work on local Galois representations. For a prime $p$, the Iwasawa algebra of a $p$-adic Lie group $G$, denoted by $\mathbb{Z}_p[[G]]$, is a non-commutative completed group algebra of $G$.
In the first part of the talk, we lay the foundation by giving a very explicit description of certain Iwasawa algebras (one such algebra was described by my advisor Clozel). The base change map between the Iwasawa algebras over extensions of $\mathbb{Q}_p$ motivates us to discuss globally analytic p-adic representations following Emerton’s work.
In the second part of the talk, we will discuss about numerical experiments using a computer algebra system which give heuristic support to Greenberg’s $p$-rationality conjecture which affirms the existence of “$p$-rational” number fields with Galois groups $(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})^t$. The $p$-rational fields are algebraic number fields whose Galois cohomology is particularly simple and which are interesting because they offer ways of constructing Galois representations with big open images. We go beyond Greenberg’s work and construct novel Galois representations of the absolute Galois group of $\mathbb{Q}$ with big open images in reductive groups over $\mathbb{Z}_p$ (ex. $\mathrm{GL}(n;\mathbb{Z}_p) ; \mathrm{SL}(n;\mathbb{Z}_p) ; \mathrm{SO}(n;\mathbb{Z}_p) ; \mathrm{Sp}(n;\mathbb{Z}_p)$). We are proving results which show the existence of $p$-adic Lie extensions of $\mathbb{Q}$ where the Galois group corresponds to a certain specific $p$-adic Lie algebra (ex. $\mathfrak{sl}(n); \mathfrak{so}(n); \mathfrak{sp}(2n)$). This relates our work with a more general and classical Inverse Galois problem for $p$-adic Lie extensions.

  • Jeudi 26 avril : Xavier Roblot (Lyon)

Sur la conjecture galoisienne de Brumer-Stark pour les groupes nilpotents.


Soit K/k une extension galoisienne de corps de nombres, la conjecture galoisienne de Brumer-Stark prédit essentiellement que l’élément de Brumer-Stickelberger, élément de l’anneau de groupe construit à partir des valeurs en 0 des fonctions L d’Artin associées à l’extension, annule le groupe de classes de K. Elle généralise au cas non abélien la conjecture (abélienne) de Brumer-Stark énoncée par Tate aux débuts des années 80. Dans cet exposé, j’expliquerai comment on peut déduire la conjecture galoisienne de la conjecture abélienne dans le cas des groupes nilpotents. La preuve passe par une étude de la décomposition des caractères induits de certains sous-groupes et notamment des treillis modulaires qu’on en déduit.

Mai 2018

  • Jeudi 17 mai : Christophe Cornut (Paris)

Des filtrations à la chaîne !


Lorsqu’on y prend goût, on finit par voir des filtrations de Harder-Narasimhan un peu partout. J’expliquerai un formalisme très élémentaire commun à toutes ces constructions, et l’illustrerai avec des exemples tirés de plusieurs domaines représentés à Besançon (théorie de Hodge p-adique, théorie d’Arakelov, et théorie des codes linéaires).

Juin 2018

  • Mardi 5 au vendredi 8 juin : École jeunes chercheurs en théorie des nombres 2018

Évènement organisé dans le cadre des Conférences du LmB. Voir le site web de l’école.

Septembre 2018

  • Jeudi 27 septembre : Stéphane Louboutin (Marseille)

Z-bases d’ordres Galois invariants et questions ouvertes associées

Novembre 2018

  • Lundi 12 au vendredi 16 novembre : Conférence "Arithmétique et fonctions L"

Évènement organisé dans le cadre des Conférences du LmB. Voir le site web de la conférence.

  • Jeudi 22 novembre : Benjamin Smith (Saclay)

Isogenies, class groups, and post-quantum key exchange


It is generally understood that if sufficiently large quantum computers
are built, then conventional elliptic-curve cryptosystems will be broken
by Shor’s algorithm, which solves discrete logarithm problems in
polynomial time. But reports of the quantum death of elliptic-curve
cryptography have been greatly exaggerated : isogeny classes of elliptic
curves provide an alternative source of hard number-theoretic problems
which resist efficient solution by known quantum algorithms, and are
thus a source of so-called post-quantum cryptosystems.

Recent work revisiting an old isogeny-based primitive due to Couveignes,
Rostovtsev, and Stolbunov has given some very useful progress towards an
efficient post-quantum replacement for Diffie—Hellman key exchange, a
fundamental tool in public-key cryptography. These key exchanges, based
on isogenies of elliptic curves with commutative endomorphism rings,
work on the principle that the group-theoretic nature of algorithmic
problems in class groups of quadratic number fields can be hidden
through their action on isogeny classes, thus rendering them immune to
Shor’s algorithm. In this talk we will compare and contrast pre-quantum
(elliptic-curve) and post-quantum (isogeny-based) Diffie—Hellman
algorithms, including the new CSIDH proposal, highlighting some
important subtleties and distinctions.

  • Jeudi 13 décembre : Anand Kumar Narayanan (Paris)

Drinfeld Modules, Hasse Invariants and Factoring Polynomials over Finite Fields


We outline three novel algorithms to factor polynomials in one variable over finite fields using the arithmetic of Drinfeld modules. The first algorithm estimates the degree of an irreducible factor of a polynomial from Euler-Poincare characteristics of random Drinfeld modules. Knowledge of a factor degree allows one to rapidly extract all factors. The second algorithm is a random Drinfeld module analogue of Berlekamp’s algorithm, partly inspired by Lenstra’s elliptic curve method for integer factorization. The third algorithm employs Drinfeld modules with complex multiplication and will be the primary focus of the talk. The main idea is to compute a lift of the Hasse invariant with Deligne’s congruence playing a critical role. We will discuss practical implementations and complexity theoretic implications of the algorithms.

The talk will be based on the papers :
A.K. Narayanan, Polynomial factorization over finite fields by computing Euler–Poincaré characteristics of Drinfeld modules, Finite Fields Appl. (2018),
https://doi.org/10.1016/j.ffa.2018.08.003
J. Doliskani, A. K. Narayanan, É. Schost, Drinfeld Modules with Complex Multiplication, Hasse Invariants and Factoring Polynomials over Finite Fields
https://arxiv.org/abs/1712.00669

  • Mardi 5 février 2019 : Richard Griffon (Bâle)

Courbes elliptiques à gros groupe de Tate-Shafarevich


Le groupe de Tate-Shafarevich Sha(E) d’une courbes elliptique E est un objet mystérieux : on ne sait par exemple pas démontrer (en général) la conjecture affirmant qu’il est fini. Supposant la finitude de Sha(E), on peut s’intéresser à sa taille : des majorations de l’ordre |Sha(E)| sont connues en termes du conducteur et de la hauteur de E.
Dans cet exposé, je parlerai d’un travail récent avec Guus de Wit, où nous construisons une famille explicite de courbes elliptiques sur Fq(t) pour lesquelles nous savons encadrer l’ordre de |Sha(E)| de façon très précise. Dans les cas étudiés, Sha(E) est `très gros’, essentiellement aussi gros que possible (au vu des majorations mentionnées ci-dessus). Notre résultat est complètement inconditionnel et fournit également des informations additionnelles quant à la structure de Sha(E). La preuve utilise divers outils dont le calcul des fonctions L, une étude détaillées de la distribution de leur zéros, et la preuve de la conjecture de B-SD pour ces courbes elliptiques.

  • Mardi 12 février 2019 : Aurore Guillevic (inria Nancy)

Calculs de logarithmes discrets dans GF(pk) avec le crible de corps de nombres


Le crible de corps de nombres (Number Field Sieve) est utilisé en cryptanalyse depuis les années 90 pour factoriser de très grands nombres entiers comme les modules RSA, et pour calculer des logarithmes discrets dans des corps finis premiers GF(p). En 2015 et 2016, une série d’articles améliorent des variantes de NFS, qui s’avèrent alors avoir une meilleure complexité asymptotique que la version classique dans les corps d’extensions GF(pk) lorsque k est friable (travaux de Schirokauer, puis Barbulescu, Gaudry et Kleinjung, Kim et Barbulescu). Cela a des conséquences directes en cryptographie : les applications bilinéaires utilisées (accouplements de Weil et Tate ou "pairings", sur des courbes elliptiques) renvoient une valeur dans un corps GF(pk), où k est choisi petit et friable pour des raisons d’implémentation et d’efficacité (k=12 étant le plus courant). Or la sécurité repose sur la difficulté supposée de calculer des log discrets dans GF(pk).

Cependant beaucoup reste à faire avant de pouvoir développer une implémentation efficace de ces nouvelles variantes appelées Special Tower NFS. En comparaison, les records de calculs actuels avec NFS sont notamment la factorisation d’un module RSA de 768 bits, et un calcul de logarithme discret dans un corps GF(p) de 768 bits. Après une présentation de NFS et de ces variantes, cet exposé s’intéressera aux différents choix possibles de corps de nombres (et notamment les différentes tours d’extensions possibles et les différences de friabilité des normes dans ces corps), aux estimations de coût de l’algorithme special-tower-NFS en fonction des corps choisis, et présentera les difficultés actuelles rencontrées.

Il s’agit d’un travail en commun avec Shashank Singh, IISER Bhopal, Inde.

  • Mardi 12 mars 2019 : Giulia Battiston (Heidelberg)

La stratification de Gauß Manin et une formule de Künneth.


Dans cet exposé je vais étendre le travail Phùng sur la connexion de Gauß Manin au cas non compact, en déduisant une formule de Künneth pour les modules différentiels à connexion régulière singulière sur variétés sur un corps de caractéristique positive (et donc aussi pour le groupe fondamental modéré).
Ceci s’applique par exemple pour démontrer sur les espaces homogènes une généralisation, proposée par Esnault, d’une conjecture de Gieseker.

Mars 2019

  • Mardi 26 mars 2019 : Alexander Ivanov (Bonn et Francfort)

Densities of primes and realization of local extensions


We introduce certain densities on the set of primes of a number field, which generalize the Dirichlet density, and can attach a positive measure to certain sets of Dirichlet density zero. We apply them to prove some realization results for local extensions by global ones.

Avril 2019

  • Mardi 9 avril 2019 : Daniel Fiorilli (Paris Sud)

Biais de Tchebychev dans les groupes de Galois


Ce travail est en collaboration avec Florent Jouve (Bordeaux). Dans une lettre datant de 1853, Tchebychev nota qu’en comparant les nombres premiers dans les classes d’équivalence 1 et 3 modulo 4, il y a un sérieux excès de ceux de la première forme. De nombreuses généralisations de ce phénomène ont été étudiées au fil des années. Dans cet exposé nous discuterons du biais de Tchebychev dans la distribution des nombres premiers selon des conditions de type Tchebotarev. Par exemple, on comparera la quantité de nombres premiers p congrus à 1 modulo 3 pour lesquels 2 est un cube modulo p à celle pour laquelle cette condition n’est pas satisfaite. Un de nos buts sera d’étudier les biais extrêmes, c’est-à-dire que nous donnerons des conditions sur les groupes de Galois impliqués qui garantissent de sérieuses asymétries. Nous verrons que ces questions sont fortement liées à la théorie de la représentation de ce groupe. Par exemple, dans le cas d’extensions S_n nous exploiterons la richesse de la théorie de la représentation du groupe symétrique ainsi que les récentes bornes sur ses caractères dues à Roichman, Féray, Sniady, Larsen et Shalev. Nous appliquerons aussi des résultats de type Galois inverse effectif.

Mai 2019

  • Mardi 7 mai 2019 : Ramla Abdellatif (Amiens)

Algèbres de Hecke et masures

"Soit F un corps local non archimédien et soit G le groupe des F-points d’un groupe réductif connexe défini sur F. L’étude des représentations (lisses complexes) de G exploite différents outils d’origines variées, parmi lesquels comptent notamment l’immeuble de Bruhat-Tits du groupe et les algèbres de Hecke (vues comme algèbres d’entrelacements isomorphes à certaines algèbres de convolution).
En considérant (comme Tits) les groupes de Kac-Moody comme une généralisation naturelle des groupes réductifs, il est tentant de développer des artefacts analogues dans ce nouveau contexte. Bien qu’il existe une généralisation convenable des immeubles (par le biais de la théorie des masures développée par Rousseau), bien peu de choses sont encore connues concernant les algèbres de Hecke, notamment car certains points importants sont en défaut dans le cas non réductif.
Dans cet exposé, je présenterai certains résultats, obtenus dans le cadre d’une collaboration avec Auguste Hébert, pour les groupes de Kac-Moody déployés. En particulier, j’expliquerai en quoi l’algèbre d’Iwahori-Hecke construite par Bardy-Panse-Gaussent-Rousseau n’est pas tout à fait satisfaisante car son centre est « trop petit », ce qui nous mène à proposer un procédé de complétion qui fournit une algèbre plus raisonnable (par certains aspects). Si le temps le permet, j’expliquerai aussi comment attacher, plus généralement, une algèbre de Hecke à toute face sphérique de type 0 de la masure, de manière compatible à ce qui existe dans le cas réductif."

  • Mardi 14 mai 2019 : Alain Couvreur (Inria Saclay)

Vers un théorème de Freiman pour les corps de fonctions


Un célèbre théorème de théorie additive des nombres dû à Freiman et parfois appelé "theorème 3k-3" peut s’énoncer comme suit : "Soit A une partie finie de R^d et A+A l’ensemble des sommes de deux éléments de A. Si Card(A+A) < 3|A| - 3, alors A est contenu dans une progression arithmétique." En particulier, l’espace affine engendré par A est de dimension 1.

Dans cet exposé on s’intéressera à un analogue multiplicatif de ce résultat : étant donné un espace de dimension finie S dans corps de fonctions F, on étudiera les cas où la dimension de l’espace S^2 engendré par les produits de deux éléments de S est "petite". On énoncera ce que pourrait être un analogue du théorème de Freiman dans ce contexte et le prouvera dans un cas particulier. On produira ensuite la classification complète des espaces dont le carré est de dimension minimale, à savoir les espaces vérifiant dim S^2 = 2 dim S - 1 et dim S^2 = 2 dim S.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Christine Bachoc et Gilles Zémor.

  • Mardi 28 mai 2019 : Mathieu Florence (Paris 6)

Relèvement des représentations galoisiennes de dimension deux


(Collaboration avec Charles De Clercq (LAGA, Paris 13))

Soit G un groupe profini, et soit p un nombre premier. On peut se demander si toute représentation continue G—>GL_n(Z/p) se relève modulo p^2- c’est-à-dire en une représentation continue G—>GL_n(Z/p^2). Sans autre hypothèse sur G, c’est très rarement le cas. Lorsque G est le groupe de Galois absolu d’un corps F, je me propose de montrer que la réponse est affirmative si n=2. La stratégie utilisée, qui utilise de façon essentielle le théorème 90 de Hilbert, démontre en réalité le relèvement des représentations G—>GL_2(k) en des représentations G—>GL_2(W_2(k)), pour tout corps k de caractéristique p. Ce résultat s’étend aux groupes fondamentaux de nombreux schémas. Par exemple, il vaut lorsque G est le groupe fondamental d’une variété projective lisse X sur un corps algébriquement clos, sous l’hypothèse que le Néron-Séveri de tout revêtement étale de X est sans p-torsion. On conjecture que le relèvement modulo p^2 vaut pour des représentations de G de dimension n quelconque (c’est l’objectif d’un travail en cours).

Juin 2019

  • Mardi 4 juin 2019 : Fabien Pazuki (Copenhague)

Régulateurs de corps de nombres et de variétés abéliennes


L’étude des régulateurs revêt une importance toute particulière dans la compréhension de la variation du nombre de classes dans les familles de corps de nombres, et dans la compréhension de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer dans le cas des variétés abéliennes. On présentera dans cet exposé trois inégalités, et les corollaires qui leur sont associés. La première, initiatrice de cet axe de recherche, est une minoration du régulateur des corps de nombres en fonction de leur discriminant et de leur degré : elle repose sur des travaux de Silverman et Friedman. La seconde concerne le régulateur des groupes de Mordell-Weil et la hauteur de Faltings des variétés abéliennes de dimension quelconque : elle est encore conjecturale. La troisième est inconditionnelle et concerne plus particulièrement les courbes elliptiques, elle fait l’objet d’un article récent en collaboration avec Pascal Autissier et Marc Hindry.

  • Mardi 17 septembre 2019 : Lucile Devin (Ottawa/Montréal)

Obtenir tous les biais de Chebyshev possibles dans les corps de fonctions.


Pour un entier m donné, la question de Chebyshev originale est de s’intéresser à la probabilité ("le biais") qu’en prenant un réel x au hasard, il y ait plus de premiers en dessous de x qui sont non-résidus quadratiques que résidus quadratiques modulo m.
Dans un projet en collaboration avec X. Meng, Nous nous intéressons à la traduction de cette question dans les corps de fonctions. Cette traduction a été initiée par Cha qui a notamment observé des biais dans des directions inattendues dans des cas où l’hypothèse d’indépendance linéaire n’est pas vérifiée. Nous montrons que toutes sortes de situations peuvent avoir lieu dépendamment du modulo m, notamment des biais complets (=1), l’absence de biais (=1/2), et, conditionnellement à une hypothèse d’indépendance linéaire, le biais peut approcher toutes les valeurs de l’intervalle [1/2,1].

  • Mardi 1 octobre 2019 : Hassan Oukhaba (Besançon)

Sur des modules engendrés par les unités de Stark dans les corps de fonctions


On étudie la structure de certains modules engendrés par les points de torsion de modules de Drinfeld de rang1 normalisés. Ces points de torsion sont en lien direct avec les conjectures de Brumer-Stark dans le cas abélien.

Agenda

  • Mardi 26 mai 2020 13:45-15:00 - Ramla Abdellatif - Université de Picardie Jules Verne

    Sém. ATdN - Ramla Abdellatif

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