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Séminaire et groupe de travail d’Algèbre et Théorie des Nombres

par Armana Cécile, David Agnès - publié le , mis à jour le

  • Le séminaire a lieu le mardi de 13h45 à 15h en salle 324-2B du bâtiment de Métrologie : plan d’accès.
  • Ci-dessous, le programme du séminaire pour l’année 2019. Pour retrouver les exposés des années précédentes :
    archives.

Exposés et évènements à venir :

Mai 2022

  • Mardi 3 mai 2022 : Bouchaïb Sodaïgui (Valenciennes)

Structure galoisienne relative de puissances de la différente et idéaux de Stickelberger


Je présenterai le problème des classes galoisiennes réalisables par des puissances de la différente d’extensions galoisiennes modérément ramifiées et quelques conjectures. Ensuite, je traiterai le cas où le groupe de Galois est d’ordre un nombre premier. (Les résultats qui seront exposés se trouvent dans l’article : B. Sodaïgui, Int. J. Number Theory17 (2021), no. 7, 1645–1664.)

  • Mardi 10 mai 2022 : Tobias Schmidt (Rennes)

Dualité dérivée pour la catégorie O épaisse et représentations localement analytiques


Soit F/Qp une extension finie. Soit G le groupe des F-points d’un groupe connexe réductif déployé sur F et soit g son algèbre de Lie. Dans cet exposé, on discute certains propriétés du passage des g-représentations vers les G-représentations localement analytiques.

Plus précisément, soit O la catégorie O "épaisse", c.à.d. la plus petite sous-catégorie de g-représentations stable par extension et contenant la BGG catégorie O classique (les g-représentations de plus hauts poids).

Soit Oalg la sous-catégorie formée par des objets de poids algébriques. Récemment, Agrawal-Strauch ont introduit un certain foncteur fidèle et exact F de Oalg vers les G-représentations admissibles, ce qui permet d’interpréter certaines G-représentations apparaissant dans le programme de Langlands p-adique (pour G=GLn(F)) en termes de g.

Je vais tout d’abord rappeler tous les objets en jeu et ensuite expliquer dans quel sens il y une dualité naturelle sur la source et le but de F. Le résultat principal est alors que le foncteur F commute aux dualités. Si le temps le permet, on va discuter quelques applications. Il s’agit d’un travail en cours avec M. Strauch.

  • Mardi 24 mai 2022 : Arthur Forey (EPFL)

Equidistribution of exponential sums over finite fields


Many exponential sums over finite fields, such as Gauss or Salié-Kloosterman sums, appear as the Fourier-Melin transform of the trace function of an l-adic sheaf on a commutative algebraic group. We are interested in the equidistribution of such sums as the character varies. Generalizing work by Deligne and Katz in the cases of additive and multiplicative groups, a Tannakian formalism always controls the equidistribution. This is a collaboration with Javier Fresán and Emmanuel Kowalski.

  • Mardi 7 juin 2022 : Liam Baker (Stellenbosch University)

Titre à venir


Résumé à venir

  • Jeudi 9 juin 2022 : Fabien Pazuki (Copenhague)

Titre à venir


Résumé à venir

Archives :

Janvier 2017

  • Jeudi 19 janvier : Gabor Wiese (Luxembourg)

Sur les représentations galoisiennes des formes modulaires de Hilbert de poids un en caractéristique p


Dans cet exposé, je vais donner les idées principales de mon travail avec Mladen Dimitrov dans lequel nous démontrons que la représentation galoisienne associée à toute forme modulaire de Hilbert de poids un en caractéristique p et de niveau premier à p est non-ramifiée en p. Ce résultat s’applique notamment à des formes qui ne se relèvent pas en caractéristique zéro, et peut être vu comme la précision d’un aspect du poids dans la généralisation de la conjecture de modularité de Serre aux formes de Hilbert.

Mars 2017

  • Jeudi 9 mars : Filippo Nuccio (Saint-Étienne)

Quotients de nombres de classes dans les extensions diédrales et pro-diédrales de Q


{{}}Depuis les premiers travaux de Dirichlet sur les extensions biquadratiques de Q, on sait que certains propriétés des représentations entières du groupe de Galois d’une extensions L/Q se reflètent dans des relations entre les nombres de classes des sous-corps de L. Cela a été généralisé par Brauer et Kuroda, qui ont montré dans les années ’50 comment traduire les propriétés en question en termes analytiques, puis en valeurs numériques qui représentent les nombres de classes : et ceci pour une vaste famille de groupes de Galois, mais au prix d’obtenir des relations peu explicites et faisant intervenir des indices d’unités peu maniables. Suite à leurs travaux, on a cherché à rendre les relations qu’ils trouvaient de plus en plus explicites, au moins dans des cas particuliers et on a atteint des résultats plutôt satisfaisants pour les extensions diédrales L/Q d’ordre 2p, avec p premier impair.
Dans ce travail en commun avec Luca Caputo on généralise les dits résultats aux extensions diédrales d’ordre 2p^n, en simplifiant les preuves, en les rendant purement algébriques tout en se débarrassant des indices d’unités, et on les applique à l’étude de la croissance des nombres des classes dans des extensions pro-dihédrales.

  • Jeudi 16 mars : Elisa Lorenzo García (Rennes)

Sur les premiers à mauvaise réduction des courbes de genre 3 avec CM


Avec la méthode de la multiplication complexe on peut produire des courbes sur des corps finis avec un nombre de points donnés. Un point clé est de contrôler les dénominateurs dans les polynômes de classes pour les calculer par évaluation numérique. Pour les courbes de genre 1, les dénominateurs sont triviaux. Pour le cas de genre 2, ils sont calculés par Lauter et Viray : on doit calculer les premiers de mauvaise réduction de certaines courbes de genre 2 avec CM. Pour le cas de genre 3, la situation est beaucoup plus difficile. La première étape est de contrôler les premiers de mauvaise réduction pour les courbes de genre 3 avec CM. Dans cet exposé on montrera comment le faire en suivant des travaux en collaboration : Bouw et al. 2015, et Kilicer et al. 2017.

  • Jeudi 30 mars : Michel Broué (Paris 7)

Systèmes de racines cyclotomiques (travail en commun avec Ruth Corran et Jean Michel)


Pour chaque groupe de réflexions complexe irréductible, pas nécessairement défini sur \mathbb{Q} (ce serait alors un groupe de Weyl) mais défini sur une extension abélienne K de \mathbb{Q} d’anneau des entiers \mathbb{Z}_{K}, nous définissons et classifions les \mathbb{Z}_K-systèmes de racines, ainsi que les réseaux de racines et de coracines. Apparait alors un fait surprenant : si le groupe de réflexions est "spetsial", l’ordre du groupe est divisible par la factorielle du rang multiplié par l’indice de connexion, et le reste est constitué des mauvais nombres premiers pour le "Spets" correspondant --- exactement comme pour le cas des groupes de Weyl et de leurs groupes réductifs finis.

Avril 2017

  • Mercredi 5 avril : (deux séances exceptionnelles, de 14h à 16h en salle 316B-bis)

Guoniu Han (Strasbourg)

Irrationality exponents and Hankel determinants

Huan Xiong (Strasbourg)

Some new formulas for integer partitions

  • Jeudi 6 avril : (séminaire à 14h30, exceptionnellement) Bouchaïb Sodaïgui (Valenciennes)

Structure de module galoisien d'anneaux d'entiers et codes cycliques

Soient k un corps de nombres, \Gamma un groupe fini et $Cl(O_k[\Gamma])$ le groupe des classes des O_k[\Gamma]-modules localement libres. On note \mathcal{R}(O_k[\Gamma]) le sous-ensemble de Cl(O_k[\Gamma]) formé par les classes d’anneaux d’entiers O_N d’extensions galoisiennes modérées N/k, avec Gal(N/k) \cong \Gamma ; \mathcal{R}(O_k[\Gamma]) est appelé l’ensemble des classes galoisiennes réalisables. Nous déterminons \mathcal{R}(O_k[\Gamma]), et montrons que c’est un sous-groupe de Cl(O_k[\Gamma]), au moyen d’une description utilisant un idéal de Stickelberger et des propriétés de certains codes cycliques, lorsque k contient une racine de l’unité d’ordre premier p et \Gamma=V \rtimes C, où V est un groupe élémentaire abélien d’ordre p^r et C est un groupe cyclique d’ordre m>1 agissant fidèlement sur V et rendant V un \mathbb{F}_p[C]-module irréductible. Ceci généralise et raffine des résultats de Byott, Greither et Sodaïgui [J. reine angew. Math., 601, 2006, 1—27] pour p=2, respectivement de Bruche et Sodaïgui [J. Number Theory, 128, (2008), 954—978] pour p>2, lesquels couvrent seulement le cas m=p^r-1 et déterminent seulement l’image \mathcal{R}(\mathcal{M}) de \mathcal{R}(O_k[\Gamma]) sous l’extension des scalaires de O_k[\Gamma] à un ordre maximal \mathcal{M} \supset O_k[\Gamma] dans k[\Gamma]. Le résultat principal ici généralise donc la description de \mathcal{R}(O_k[A_4]) pour le groupe alterné A_4 de degré 4 (le cas p=r=2) donnée par Byott et Sodaïgui dans [Compositio Math. 141, (2005), 573—582].

  • Jeudi 13 avril : Ramla Abdellatif (Amiens)

Extensions entre modules simples de Iwahori-Hecke pour SL(2,F) en caractéristique naturelle


Soit p un entier premier et soit F un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle p et de corps résiduel fini. En caractéristique p, les modules de Iwahori-Hecke d’un groupe réductif p-adique apparaissent naturellement dans l’étude des représentations lisses de ce groupe comme espaces de vecteurs invariants sous l’action de pro-p-sous-groupes d’Iwahori, et leur compréhension peut apporter des informations utiles sur les représentations sus-mentionnées, qui sont encore bien mal comprises.
Les travaux présentés dans cet exposé s’intéressent plus spécifiquement au cas du groupe spécial linéaire de rang 1. Dans une première partie, nous expliquerons plus précisément les motivations qui les sous-tendent, et rappellerons quelques résultats de classification des modules simples de Iwahori-Hecke de \mathrm{SL}_2 (F). Dans une seconde partie, nous présenterons quelques résultats concernant la compréhension de leurs espaces d’extensions et leurs liens avec la théoriedes représentations modulo p de \mathrm{SL}_2 (F).

Mai 2017

  • Jeudi 4 mai : Philippe et Pierrette Cassou-Noguès (Bordeaux) (deux exposés)

Philippe Cassou-Noguès : G-formes, twists et périodes


Soit K un corps de caractéristique différente de 2 et G un schéma en groupes sur K. On peut associer par ”twistage” à toute G-forme q et à tout G-torseur T une forme q_T de rang égal à celui de q. On donnera des formules de comparaison des invariants de Hasse-Witt de ces formes. On appliquera ces formules à l’étude de la forme trace de L/K lorsque G est un schéma en groupes constant et T est associé à une G-algèbre galoisienne L/K. Plus généralement on comparera les invariants de Hasse-Witt des différentes réalisations d’un objet quadratique d’une catégorie tannakienne. On traitera l’exemple des motifs de Nori. Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec T. Chinburg, B. Morin et M.J. Taylor.

Pierrette Cassou-Noguès : Fibre de Milnor motivique et algorithme de Newton


Après avoir rappellé la définition de la fibre de Milnor motivique introduite par Denef et Loeser, nous donnerons les idées principales pour la calculer à l’aide de l’algorithme de Newton et nous appliquerons le résultat pour généraliser un théorème de Kouchnirenko.

  • Jeudi 11 mai : Bora Yalkinoglu (Strasbourg)

Sur l’analogue elliptique d’une conjecture de Shintani


Dans l’exposé on va expliquer une conjecture ouverte de Shintani qui prédit un lien entre certains valeurs spéciales de la fonction gamma hyperbolique et des extensions abéliennes d’un corps réel quadratique. Ensuite on va expliquer comment la fonction gamma elliptique et l’équation de Yang-Baxter apparaissent naturellement dans la variante elliptique de la conjecture de Shintani, qui concerne la théorie classique de la multiplication complexe pour les corps imaginaires quadratiques et indiquer l’intérêt de cette observation pour le cas d’un corps réel quadratique.

Juin 2017

  • Jeudi 1er juin : Jean Gillibert (Toulouse)

Surfaces elliptiques et jacobiennes de courbes trigonales


On considère une fibration elliptique E sur la droite projective sur un corps k. Si p est un nombre premier, les points d’ordre p de E sont paramétrés par une courbe C munie d’un morphisme de degré p^2-1 vers P^1_k. Nous montrons comment on peut, grâce à la théorie de Kummer, spécialiser les sections de E dans la p-torsion de la jacobienne de C.
Cela permet de construire des courbes dont la jacobienne a beaucoup de p-torsion à partir de courbes elliptiques de grand rang sur k(t).
Une autre conséquence est de fournir une borne sur le rang de E(k(t)), qui est équivalente à celle donnée par l’inégalité d’Igusa quand k est algébriquement clos. Il s’agit d’un travail en commun avec Aaron Levin (MSU).

Janvier 2018

  • Lundi 15 au vendredi 19 janvier : 10ème Atelier PARI/GP

Évènement organisé conjointement avec l’Institut de Mathématiques de Bordeaux dans le cadre des Conférences du LmB. Voir le site web de l’atelier.

  • Jeudi 25 janvier : Vincent Bosser (Caen)

Sur l'indépendance algébrique des logarithmes $P$-adiques de Carlitz.


Notons k={\mathbb F}_q(T). En 2008, Papanikolas a démontré que si des logarithmes de Carlitz d’éléments de \bar{k} sont linéairement indépendants sur k, alors ils sont algébriquement indépendants sur $k$.
Il existe un analogue P-adique de cet énoncé, mais qui reste conjectural. On présentera dans cet exposé la conjecture, ainsi que quelques résultats partiels en direction de celle-ci.

Avril 2018

  • Jeudi 5 avril : Jishnu Ray (Orsay)

Iwasawa algebras of $p$-adic Lie groups and Galois representations with open image.


A key tool in the study of algebraic number fields are Iwasawa algebras, originally constructed by Iwasawa in the 1960’s to study the "class groups" of fields, but since appearing in varied settings such as a Lazard’s work on p-adic Lie groups and Fontaine’s work on local Galois representations. For a prime p, the Iwasawa algebra of a p-adic Lie group G, denoted by \mathbb{Z}_p[ [G] ] , is a non-commutative completed group algebra of G.
In the first part of the talk, we lay the foundation by giving a very explicit description of certain Iwasawa algebras (one such algebra was described by my advisor Clozel). The base change map between the Iwasawa algebras over extensions of \mathbb{Q}_p motivates us to discuss globally analytic p-adic representations following Emerton’s work.
In the second part of the talk, we will discuss about numerical experiments using a computer algebra system which give heuristic support to Greenberg’s p-rationality conjecture which affirms the existence of “p-rational” number fields with Galois groups (\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})^t. The p-rational fields are algebraic number fields whose Galois cohomology is particularly simple and which are interesting because they offer ways of constructing Galois representations with big open images. We go beyond Greenberg’s work and construct novel Galois representations of the absolute Galois group of \mathbb{Q} with big open images in reductive groups over \mathbb{Z}_p (ex. \mathrm{GL}(n ;\mathbb{Z}_p) ; \mathrm{SL}(n ;\mathbb{Z}_p) ; \mathrm{SO}(n ;\mathbb{Z}_p) ; \mathrm{Sp}(n ;\mathbb{Z}_p)). We are proving results which show the existence of p-adic Lie extensions of \mathbb{Q} where the Galois group corresponds to a certain specific p-adic Lie algebra (ex. \mathfrak{sl}(n) ; \mathfrak{so}(n) ; \mathfrak{sp}(2n)). This relates our work with a more general and classical Inverse Galois problem for p-adic Lie extensions.

  • Jeudi 26 avril : Xavier Roblot (Lyon)

Sur la conjecture galoisienne de Brumer-Stark pour les groupes nilpotents.


Soit K/k une extension galoisienne de corps de nombres, la conjecture galoisienne de Brumer-Stark prédit essentiellement que l’élément de Brumer-Stickelberger, élément de l’anneau de groupe construit à partir des valeurs en 0 des fonctions L d’Artin associées à l’extension, annule le groupe de classes de K. Elle généralise au cas non abélien la conjecture (abélienne) de Brumer-Stark énoncée par Tate aux débuts des années 80. Dans cet exposé, j’expliquerai comment on peut déduire la conjecture galoisienne de la conjecture abélienne dans le cas des groupes nilpotents. La preuve passe par une étude de la décomposition des caractères induits de certains sous-groupes et notamment des treillis modulaires qu’on en déduit.

Mai 2018

  • Jeudi 17 mai : Christophe Cornut (Paris)

Des filtrations à la chaîne !


Lorsqu’on y prend goût, on finit par voir des filtrations de Harder-Narasimhan un peu partout. J’expliquerai un formalisme très élémentaire commun à toutes ces constructions, et l’illustrerai avec des exemples tirés de plusieurs domaines représentés à Besançon (théorie de Hodge p-adique, théorie d’Arakelov, et théorie des codes linéaires).

Juin 2018

  • Mardi 5 au vendredi 8 juin : École jeunes chercheurs en théorie des nombres 2018

Évènement organisé dans le cadre des Conférences du LmB. Voir le site web de l’école.

Septembre 2018

  • Jeudi 27 septembre : Stéphane Louboutin (Marseille)

Z-bases d’ordres Galois invariants et questions ouvertes associées

Novembre 2018

  • Lundi 12 au vendredi 16 novembre : Conférence "Arithmétique et fonctions L"

Évènement organisé dans le cadre des Conférences du LmB. Voir le site web de la conférence.

  • Jeudi 22 novembre : Benjamin Smith (Saclay)

Isogenies, class groups, and post-quantum key exchange


It is generally understood that if sufficiently large quantum computers
are built, then conventional elliptic-curve cryptosystems will be broken
by Shor’s algorithm, which solves discrete logarithm problems in
polynomial time. But reports of the quantum death of elliptic-curve
cryptography have been greatly exaggerated : isogeny classes of elliptic
curves provide an alternative source of hard number-theoretic problems
which resist efficient solution by known quantum algorithms, and are
thus a source of so-called post-quantum cryptosystems.

Recent work revisiting an old isogeny-based primitive due to Couveignes,
Rostovtsev, and Stolbunov has given some very useful progress towards an
efficient post-quantum replacement for Diffie—Hellman key exchange, a
fundamental tool in public-key cryptography. These key exchanges, based
on isogenies of elliptic curves with commutative endomorphism rings,
work on the principle that the group-theoretic nature of algorithmic
problems in class groups of quadratic number fields can be hidden
through their action on isogeny classes, thus rendering them immune to
Shor’s algorithm. In this talk we will compare and contrast pre-quantum
(elliptic-curve) and post-quantum (isogeny-based) Diffie—Hellman
algorithms, including the new CSIDH proposal, highlighting some
important subtleties and distinctions.

  • Jeudi 13 décembre : Anand Kumar Narayanan (Paris)

Drinfeld Modules, Hasse Invariants and Factoring Polynomials over Finite Fields


We outline three novel algorithms to factor polynomials in one variable over finite fields using the arithmetic of Drinfeld modules. The first algorithm estimates the degree of an irreducible factor of a polynomial from Euler-Poincare characteristics of random Drinfeld modules. Knowledge of a factor degree allows one to rapidly extract all factors. The second algorithm is a random Drinfeld module analogue of Berlekamp’s algorithm, partly inspired by Lenstra’s elliptic curve method for integer factorization. The third algorithm employs Drinfeld modules with complex multiplication and will be the primary focus of the talk. The main idea is to compute a lift of the Hasse invariant with Deligne’s congruence playing a critical role. We will discuss practical implementations and complexity theoretic implications of the algorithms.

The talk will be based on the papers :
A.K. Narayanan, Polynomial factorization over finite fields by computing Euler–Poincaré characteristics of Drinfeld modules, Finite Fields Appl. (2018),
https://doi.org/10.1016/j.ffa.2018.08.003
J. Doliskani, A. K. Narayanan, É. Schost, Drinfeld Modules with Complex Multiplication, Hasse Invariants and Factoring Polynomials over Finite Fields
https://arxiv.org/abs/1712.00669

  • Mardi 5 février 2019 : Richard Griffon (Bâle)

Courbes elliptiques à gros groupe de Tate-Shafarevich


Le groupe de Tate-Shafarevich Sha(E) d’une courbes elliptique E est un objet mystérieux : on ne sait par exemple pas démontrer (en général) la conjecture affirmant qu’il est fini. Supposant la finitude de Sha(E), on peut s’intéresser à sa taille : des majorations de l’ordre |Sha(E)| sont connues en termes du conducteur et de la hauteur de E.
Dans cet exposé, je parlerai d’un travail récent avec Guus de Wit, où nous construisons une famille explicite de courbes elliptiques sur Fq(t) pour lesquelles nous savons encadrer l’ordre de |Sha(E)| de façon très précise. Dans les cas étudiés, Sha(E) est `très gros’, essentiellement aussi gros que possible (au vu des majorations mentionnées ci-dessus). Notre résultat est complètement inconditionnel et fournit également des informations additionnelles quant à la structure de Sha(E). La preuve utilise divers outils dont le calcul des fonctions L, une étude détaillées de la distribution de leur zéros, et la preuve de la conjecture de B-SD pour ces courbes elliptiques.

  • Mardi 12 février 2019 : Aurore Guillevic (inria Nancy)

Calculs de logarithmes discrets dans GF(pk) avec le crible de corps de nombres


Le crible de corps de nombres (Number Field Sieve) est utilisé en cryptanalyse depuis les années 90 pour factoriser de très grands nombres entiers comme les modules RSA, et pour calculer des logarithmes discrets dans des corps finis premiers GF(p). En 2015 et 2016, une série d’articles améliorent des variantes de NFS, qui s’avèrent alors avoir une meilleure complexité asymptotique que la version classique dans les corps d’extensions GF(pk) lorsque k est friable (travaux de Schirokauer, puis Barbulescu, Gaudry et Kleinjung, Kim et Barbulescu). Cela a des conséquences directes en cryptographie : les applications bilinéaires utilisées (accouplements de Weil et Tate ou "pairings", sur des courbes elliptiques) renvoient une valeur dans un corps GF(pk), où k est choisi petit et friable pour des raisons d’implémentation et d’efficacité (k=12 étant le plus courant). Or la sécurité repose sur la difficulté supposée de calculer des log discrets dans GF(pk).

Cependant beaucoup reste à faire avant de pouvoir développer une implémentation efficace de ces nouvelles variantes appelées Special Tower NFS. En comparaison, les records de calculs actuels avec NFS sont notamment la factorisation d’un module RSA de 768 bits, et un calcul de logarithme discret dans un corps GF(p) de 768 bits. Après une présentation de NFS et de ces variantes, cet exposé s’intéressera aux différents choix possibles de corps de nombres (et notamment les différentes tours d’extensions possibles et les différences de friabilité des normes dans ces corps), aux estimations de coût de l’algorithme special-tower-NFS en fonction des corps choisis, et présentera les difficultés actuelles rencontrées.

Il s’agit d’un travail en commun avec Shashank Singh, IISER Bhopal, Inde.

  • Mardi 12 mars 2019 : Giulia Battiston (Heidelberg)

La stratification de Gauß Manin et une formule de Künneth.


Dans cet exposé je vais étendre le travail Phùng sur la connexion de Gauß Manin au cas non compact, en déduisant une formule de Künneth pour les modules différentiels à connexion régulière singulière sur variétés sur un corps de caractéristique positive (et donc aussi pour le groupe fondamental modéré).
Ceci s’applique par exemple pour démontrer sur les espaces homogènes une généralisation, proposée par Esnault, d’une conjecture de Gieseker.

Mars 2019

  • Mardi 26 mars 2019 : Alexander Ivanov (Bonn et Francfort)

Densities of primes and realization of local extensions


We introduce certain densities on the set of primes of a number field, which generalize the Dirichlet density, and can attach a positive measure to certain sets of Dirichlet density zero. We apply them to prove some realization results for local extensions by global ones.

Avril 2019

  • Mardi 9 avril 2019 : Daniel Fiorilli (Paris Sud)

Biais de Tchebychev dans les groupes de Galois


Ce travail est en collaboration avec Florent Jouve (Bordeaux). Dans une lettre datant de 1853, Tchebychev nota qu’en comparant les nombres premiers dans les classes d’équivalence 1 et 3 modulo 4, il y a un sérieux excès de ceux de la première forme. De nombreuses généralisations de ce phénomène ont été étudiées au fil des années. Dans cet exposé nous discuterons du biais de Tchebychev dans la distribution des nombres premiers selon des conditions de type Tchebotarev. Par exemple, on comparera la quantité de nombres premiers p congrus à 1 modulo 3 pour lesquels 2 est un cube modulo p à celle pour laquelle cette condition n’est pas satisfaite. Un de nos buts sera d’étudier les biais extrêmes, c’est-à-dire que nous donnerons des conditions sur les groupes de Galois impliqués qui garantissent de sérieuses asymétries. Nous verrons que ces questions sont fortement liées à la théorie de la représentation de ce groupe. Par exemple, dans le cas d’extensions S_n nous exploiterons la richesse de la théorie de la représentation du groupe symétrique ainsi que les récentes bornes sur ses caractères dues à Roichman, Féray, Sniady, Larsen et Shalev. Nous appliquerons aussi des résultats de type Galois inverse effectif.

Mai 2019

  • Mardi 7 mai 2019 : Ramla Abdellatif (Amiens)

Algèbres de Hecke et masures

"Soit F un corps local non archimédien et soit G le groupe des F-points d’un groupe réductif connexe défini sur F. L’étude des représentations (lisses complexes) de G exploite différents outils d’origines variées, parmi lesquels comptent notamment l’immeuble de Bruhat-Tits du groupe et les algèbres de Hecke (vues comme algèbres d’entrelacements isomorphes à certaines algèbres de convolution).
En considérant (comme Tits) les groupes de Kac-Moody comme une généralisation naturelle des groupes réductifs, il est tentant de développer des artefacts analogues dans ce nouveau contexte. Bien qu’il existe une généralisation convenable des immeubles (par le biais de la théorie des masures développée par Rousseau), bien peu de choses sont encore connues concernant les algèbres de Hecke, notamment car certains points importants sont en défaut dans le cas non réductif.
Dans cet exposé, je présenterai certains résultats, obtenus dans le cadre d’une collaboration avec Auguste Hébert, pour les groupes de Kac-Moody déployés. En particulier, j’expliquerai en quoi l’algèbre d’Iwahori-Hecke construite par Bardy-Panse-Gaussent-Rousseau n’est pas tout à fait satisfaisante car son centre est « trop petit », ce qui nous mène à proposer un procédé de complétion qui fournit une algèbre plus raisonnable (par certains aspects). Si le temps le permet, j’expliquerai aussi comment attacher, plus généralement, une algèbre de Hecke à toute face sphérique de type 0 de la masure, de manière compatible à ce qui existe dans le cas réductif."

  • Mardi 14 mai 2019 : Alain Couvreur (Inria Saclay)

Vers un théorème de Freiman pour les corps de fonctions


Un célèbre théorème de théorie additive des nombres dû à Freiman et parfois appelé "theorème 3k-3" peut s’énoncer comme suit : "Soit A une partie finie de R^d et A+A l’ensemble des sommes de deux éléments de A. Si Card(A+A) < 3|A| - 3, alors A est contenu dans une progression arithmétique." En particulier, l’espace affine engendré par A est de dimension 1.

Dans cet exposé on s’intéressera à un analogue multiplicatif de ce résultat : étant donné un espace de dimension finie S dans corps de fonctions F, on étudiera les cas où la dimension de l’espace S^2 engendré par les produits de deux éléments de S est "petite". On énoncera ce que pourrait être un analogue du théorème de Freiman dans ce contexte et le prouvera dans un cas particulier. On produira ensuite la classification complète des espaces dont le carré est de dimension minimale, à savoir les espaces vérifiant dim S^2 = 2 dim S - 1 et dim S^2 = 2 dim S.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Christine Bachoc et Gilles Zémor.

  • Mardi 28 mai 2019 : Mathieu Florence (Paris 6)

Relèvement des représentations galoisiennes de dimension deux


(Collaboration avec Charles De Clercq (LAGA, Paris 13))

Soit G un groupe profini, et soit p un nombre premier. On peut se demander si toute représentation continue G—>GL_n(Z/p) se relève modulo p^2- c’est-à-dire en une représentation continue G—>GL_n(Z/p^2). Sans autre hypothèse sur G, c’est très rarement le cas. Lorsque G est le groupe de Galois absolu d’un corps F, je me propose de montrer que la réponse est affirmative si n=2. La stratégie utilisée, qui utilise de façon essentielle le théorème 90 de Hilbert, démontre en réalité le relèvement des représentations G—>GL_2(k) en des représentations G—>GL_2(W_2(k)), pour tout corps k de caractéristique p. Ce résultat s’étend aux groupes fondamentaux de nombreux schémas. Par exemple, il vaut lorsque G est le groupe fondamental d’une variété projective lisse X sur un corps algébriquement clos, sous l’hypothèse que le Néron-Séveri de tout revêtement étale de X est sans p-torsion. On conjecture que le relèvement modulo p^2 vaut pour des représentations de G de dimension n quelconque (c’est l’objectif d’un travail en cours).

Juin 2019

  • Mardi 4 juin 2019 : Fabien Pazuki (Copenhague)

Régulateurs de corps de nombres et de variétés abéliennes


L’étude des régulateurs revêt une importance toute particulière dans la compréhension de la variation du nombre de classes dans les familles de corps de nombres, et dans la compréhension de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer dans le cas des variétés abéliennes. On présentera dans cet exposé trois inégalités, et les corollaires qui leur sont associés. La première, initiatrice de cet axe de recherche, est une minoration du régulateur des corps de nombres en fonction de leur discriminant et de leur degré : elle repose sur des travaux de Silverman et Friedman. La seconde concerne le régulateur des groupes de Mordell-Weil et la hauteur de Faltings des variétés abéliennes de dimension quelconque : elle est encore conjecturale. La troisième est inconditionnelle et concerne plus particulièrement les courbes elliptiques, elle fait l’objet d’un article récent en collaboration avec Pascal Autissier et Marc Hindry.

  • Mardi 17 septembre 2019 : Lucile Devin (Ottawa/Montréal)

Obtenir tous les biais de Chebyshev possibles dans les corps de fonctions.


Pour un entier m donné, la question de Chebyshev originale est de s’intéresser à la probabilité ("le biais") qu’en prenant un réel x au hasard, il y ait plus de premiers en dessous de x qui sont non-résidus quadratiques que résidus quadratiques modulo m.
Dans un projet en collaboration avec X. Meng, Nous nous intéressons à la traduction de cette question dans les corps de fonctions. Cette traduction a été initiée par Cha qui a notamment observé des biais dans des directions inattendues dans des cas où l’hypothèse d’indépendance linéaire n’est pas vérifiée. Nous montrons que toutes sortes de situations peuvent avoir lieu dépendamment du modulo m, notamment des biais complets (=1), l’absence de biais (=1/2), et, conditionnellement à une hypothèse d’indépendance linéaire, le biais peut approcher toutes les valeurs de l’intervalle [1/2,1].

  • Mardi 1 octobre 2019 : Hassan Oukhaba (Besançon)

Sur des modules engendrés par les unités de Stark dans les corps de fonctions


On étudie la structure de certains modules engendrés par les points de torsion de modules de Drinfeld de rang1 normalisés. Ces points de torsion sont en lien direct avec les conjectures de Brumer-Stark dans le cas abélien.

  • Mardi 15 octobre 2019 : Pierre Parent (Bordeaux)

Géométrie d'Arakelov des courbes modulaires.


La conjecture de Mordell, démontrée par Faltings en 1983, illustre de façon frappante le principe selon lequel "la topologie décide de l’arithmétique" : toute courbe algébrique sur un corps de nombres, de genre supérieur ou égal à 2, n’a qu’un nombre fini de points à valeur dans ce corps.

Les méthodes diophantiennes ont permis à Vojta de donner en 1991 une nouvelle preuve, sans doute plus naturelle, du théorème de Mordell-Faltings. Mais ces approches sont toutes deux intrinsèquement non effectives : elle ne permettent pas de majorer explicitement la hauteur des points rationnels de la courbe. Cela signifie qu’elles ne fournissent pas de méthode, même algorithmique, pour déterminer la liste des points (et éventuellement décider la question diophantienne classique qui est de savoir s’il en existe de non triviaux).

Dans cet exposé nous expliquerons pourquoi la géométrie et l’arithmétique des courbes modulaires rend la question du contrôle de la hauteur des points beaucoup plus abordable.

  • Mardi 12 novembre 2019 : Floric Tavares-Ribeiro (Caen)

Sur les unités de Stark et la formule des classes pour les modules de Drinfeld


Résumé

  • Mardi 26 novembre 2019 à 9h45 : Tony Ezome (Franceville, Gabon)

Titre à venir


Résumé à venir

  • Mardi 26 novembre 2019 à 13h45 : Wouter Castryck (Leuven)

Maroni invariants, scrollar syzygies, and Galois representations


The Maroni invariants of a degree d cover phi : C -> P^1 describe how H^0(C, n*(fiber of phi)) grows with n. In this paper we revisit an observation due to Casnati, which gives a remarkable interpretation, in terms of so-called scrollar syzygies, of the Maroni invariants of the degree 3 cover, attached to a given degree 4 cover through Recillas’ trigonal construction. More precisely, we will see that this is a special case of a very general phenomenon, governed by the representation theory of the Galois group of C over P^1. As time permits, we will also discuss some number theoretic manifestations of this phenomenon. This is joint ongoing work with Floris Vermeulen and Yongqiang Zhao.

  • Mardi 14 janvier 2020 : Fabien Pazuki (Bordeaux/Copenhague)

Un point sur le j


On présentera plusieurs résultats récents sur l’invariant
modulaire des courbes elliptiques. Dans un premier temps, on abordera
les courbes elliptiques définies sur un corps de nombres, en particulier
la variation de la hauteur de l’invariant j dans une classe d’isogénie.
Dans un travail en collaboration avec Richard Griffon, on obtient un
résultat similaire pour les courbes elliptiques définies sur les corps
de fonctions. Dans un travail en collaboration avec Florian Breuer et
Mahefason Razafinjatovo, on montre aussi un équivalent pour les modules
de Drinfeld. Cette présentation du triptyque des classes d’isogénies
sera complété, si le temps le permet, par des résultats connexes sur les
invariants modulaires de courbes elliptiques possédant des
multiplications complexes.

  • Mardi 11 février 2020, 13h45 : Elisa Lorenzo García (Rennes)

On different expressions for invariants of hyperelliptic curves of genus 3


In this talk, we will give a passage formula between different invariants of genus 3 hyperelliptic curves : in particular between Tsuyumine and Shioda invariants. This is needed to get modular expressions for Shioda invariants.
On the other hand, we will also get Shioda invariants described in terms of differences of roots of the equation defining the hyperelliptic curve, that has applications for studying the reduction type of the curve. Under certain conditions on its jacobians, we will give a criterion for determining the type of bad reduction of a genus 3 hyperelliptic curve.

  • Mardi 11 février 2020, 15h15 : Christophe Ritzenthaler (Rennes)

Jacobiennes dans les classes d’isogénie des puissances de courbes elliptiques


Etant donnée une courbe elliptique E sur un corps fini k et un entier g>0, on souhaite décrire les variétés abéliennes principalement polarisées dans la classe d’isogénie de E^g. De manière abstraite cela peut se faire grâce à une équivalence de catégorie avec certains End(E)-modules. Nous montrons comment faire cela de manière algorithmique puis comment obtenir une description géométrique des variétés par leurs thêta coordonnées. Une fois cela obtenu, lorsque g<4, on peut alors déterminer celles qui sont des jacobiennes. Travail en collaboration avec Markus Kirschmer, Fabien Narbonne et Damien Robert

  • Mardi 18 février 2020, 13h45 : Nicolas Billerey (Clermont-Ferrand)

Nouvelles approches des équations de Fermat généralisées


La méthode modulaire désigne l’approche utilisée par Wiles à la suite, notamment, des travaux de Mazur, Frey, Ribet et Serre, pour démontrer le dernier théorème de Fermat. Elle repose sur la modularité des courbes elliptiques rationnelles et les propriétés de leurs représentations galoisiennes. La généralisation de cette méthode à d’autres équations diophantiennes (notamment de type Fermat) fait apparaître de nombreuses et profondes difficultés. Après un tour d’horizon de la méthode modulaire, nous discuterons des nouvelles approches de ces questions, en lien notamment avec la méthode multi-Frey de Siksek et le programme de Darmon. Il s’agit d’un travail en cours et en collaboration avec Imin Chen, Luis Dieulefait et Nuno Freitas.

  • Mardi 3 Mars 2020, 13h45 : Tuan Ngo Dac (Lyon)

Produits tensoriels des modules de Drinfeld


Sur la droite projective (le cas du genre 0), les produits tensoriels du module Carlitz ont été étudiés de manière approfondie dans les travaux pionniers d’Anderson et de Thakur. Nous rappelons le théorème d’Anderson-Thakur qui donne une formule exprimant des valeurs zêta spéciales comme la dernière coordonnée du logarithme d’un point algébrique. Ce théorème implique des résultats profonds sur la transcendance des valeurs zêta de Carlitz grâce aux travaux de C.Y. Chang et J. Yu. Puis nous expliquons comment étendre ces résultats aux courbes elliptiques et aux courbes générales. Il s’agit des travaux en collaboration avec B. Anglès, F. Tavares Ribeiro et N. Green.

  • Mardi 10 Mars 2020 Olivier Fouquet (Orsay)

Conjecture principale des formes modulaires et conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.


La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit la valuation p-adique de la partie rationnelle du premier terme non-nul dans le développement de Taylor en 1 de la fonction $L$ d’une courbe elliptique. Dans un travail en commun avec Xin Wan, nous montrons cette conjecture pour p>163 lorsque la fonction L de la courbe elliptique ne s’annule pas. La démonstration repose sur la preuve d’une conjecture principale en théorie d’Iwasawa à coefficients dans les anneaux de déformation universelle pour les formes modulaires paraboliques propres.

  • Mardi 4 octobre 2021 : Hassan Oukhaba (Besançon)

Polynômes type Laguerre pour les corps fonctions


Nous utilisons les modules de Carlitz pour définir de nouveaux polynômes linéaires qui se comportent
comme les polynômes de Laguerre classiques. Le groupe de Galois de ces polynômes sur $\mathbbF_q(T)$ est isomorphe à $GL_n(\mathbbF_q)$.

  • Mardi 11 octobre 2021 : Christine Huyghe (Besançon)

Représentations localement analytiques et D-modules sur les espaces rigides


J’expliquerai une version p-adique des théorèmes de localisation de Beilinson-Bernstein-Kashiwara, dont un aboutissement fut la démontration des conjectures de Kazhdan-Lusztig sur les représentations des algèbres de Lie.

  • Mardi 25 octobre 2021 : Vlerë Mehmeti (Orsay)

Principe de Hasse sur les courbes analytiques non-archimédiennes


Dans cet exposé je parlerai de divers principes locaux-globaux que l’on peut obtenir en travaillant sur des courbes analytiques non-archimédiennes
dans le sens de Berkovich. L’outil principal utilisé est l’adaptation sur ces espaces d’une technique, dite du recollement, qui a une longue tradition
en analyse et géométrie arithmétique. Je commencerai par présenter quelques notions introductoires relatives aux espaces de Berkovich et aux principes
locaux-globaux.

  • Mardi 9 novembre 2021 : Christophe Delaunay (Besançon)

Rang de certaines surfaces elliptiques


Il s’agit d’un travail en collaboration avec Francesco Battistoni et Sandro Bettin. La conjecture de Nagao (démontrée dans les cas qui nous intéressent) nous permet d’obtenir une formule assez explicite pour le rang de certaines surfaces elliptiques. Nous expliquerons les grandes lignes de cette formule et donnerons plusieurs exemples et applications.

Décembre 2021

  • Mardi 7 décembre 2021 : Francesco Lemma (Paris 7)

Cycles algébriques et fonctorialité de Langlands de G2 à PGSp(6)


La conjecture de Tate prédit que toute classe Galois invariante dans la cohomologie l-adique d’une variété projective lisse sur Q est la classe d’un cycle algébrique. On discutera d’un cas particulier de cette conjecture, dont l’étude a été initiée par Gross-Savin, pour la partie de la cohomologie de la variété de Siegel de dimension 6 découpée par des représentations automorphes de GSp(6) qui proviennent du groupe exceptionnel G2. Travail commun avec Cauchi et Rodrigues Jacinto.

  • Mardi 14 décembre 2021 : Laurent Clozel (Orsay)

Existence de la fonctorialité d'Eisenstein pour les paraboliques maximaux : une construction de Scholze


Dans son article, ’On torsion in the cohomology of locally symmetric varieties’, Peter Scholze a introduit (pour les groupes unitaires et symplectiques) une construction purement topologique des classes de cohomologie ’d’Eisenstein’ sur les espaces localement symétriques d’un groupe réductif sur Q, provenant de la cohomologie ’intérieure’ des quotients arithmétiques des sous-groupes de Levi de ses paraboliques maximaux. Ceci repose exclusivement sur la compactification de Borel-Serre, et donne une telle construction dans des cas qui n’ont pas été obtenus par la théorie analytique de la cohomologie d’Eisenstein. Je décrirai la construction, dans le cas le plus général, en particulier avec des systèmes de coefficients. Si le temps le permet (j’en doute), j’expliquerai aussi pourquoi la construction semble limitée aux paraboliques maximaux.

Janvier 2022

  • Mardi 18 janvier 2022 : Olivier Dudas (Paris 7)

La dualité d'Ennola


Le but de cet exposé est d’expliquer :
- que l’on peut travailler sur un corps fini à -q éléments
- que —q n’est pas toujours égal à q
Plus sérieusement, il existe une dualité pour les groupes réductifs sur les corps finis qui consiste à remplacer le nombre q donnant le nombre d’éléments du corps fini, en son opposé. Cette dualité n’est pas tout à fait une involution mais son carré a des propriétés intéressantes que je détaillerai dans cet exposé. Dans le cas du groupe GL(n,q), on dispose même d’une interprétation topologique, sur le schéma de Hilbert de n points dans le plan. La combinatoire associée dans les autres groupes reste assez mystérieuse. C’est un travail en commun avec R. Rouquier et C. Stump

Février 2022

  • Mardi 1 février 2022 : Christian Maire (Besançon)

Sur les représentation galoisiennes ayant une grosse image


Dans cet exposé nous montrerons comment construire, pour tout entier $n\geq 1$ et tout nombre premier impair $p$, une représentation galoisienne de $G_Q$ ayant une image ouverte dans $Gl_n(Z_p)$ et non ramifiée en dehors de ${2,p,\infty}$.
C’était une question soulevée par R. Greenberg il y a un peu plus de 5 ans.

  • Mardis 8 et 15 février 2022 : Ravi Ramakrishna (Cornell University)

A survey of deformation theory


Over the last 25 years there have been a number of results about lifting mod p representations of the Galois group of a number field to p-adic rings. We will survey the results in this area, why one should care, and give the most recent results. This will involve the work of several mathematicians.

Mars 2022

  • Mardi 22 mars 2022 : Antoine Ducros (Paris 6)

Analyse non standard et géométrie non archimédienne


Résumé : Un principe général et un peu vague assure que les limites de familles à un paramètre d’objets complexes ont tendance à admettre une description en géométrie non archimédienne t-adique. Je vais présenter un travail en commun avec E. Hrushovski et F. Loeser qui exhibe une manifestation de ce principe : nous prouvons que certaines familles à un paramètre d’intégrales de formes différentielles complexes ont une limite qui peut s’exprimer comme une intégrale sur un espace de Berkovich t-adique. Je ne donnerai pas beaucoup de détails sur les preuves, mais insisterai sur la démarche générale suivie, qui consiste à introduire un énorme corps de « nombres complexes non standards » qui code par construction les phénomènes limite en analyse complexe, mais est aussi muni d’une valeur absolue non archimédienne de type t-adique, et est donc un cadre naturel pour énoncer et démontrer ce type de résultat.

  • Mardi 29 mars 2022 : Farrell Brumley (Paris Nord)

La conjecture de mélange de Michel--Venkatesh


Soit G le groupe des unités d’une algèbre de quaternions sur un corps de nombres. Les problèmes de Linnik, résolus pour la plupart par Duke il y a une trentaine d’années, portent sur l’équirépartition des orbites toriques de grand discriminant dans certains espaces homogènes associés à G. L’exemple le plus concret est celui de la répartition uniforme des points entiers sur la sphère, parfois appelés points de Linnik (on peut également penser aux points CM sur la courbe modulaire, où G serait GL2). La résolution complète des problèmes de Linnik, achevée par Michel et Venkatesh, a marqué une période d’échange fructueuse entre la théorie ergodique et les formes automorphes.

Par leur description comme orbite torique, les points de Linnik reçoivent une action transitive du groupe de Picard d’un ordre quadratique. Dans les actes de l’ICM en 2006, Michel et Venkatesh proposent une conjecture, dite ``de mélange”, qui mesure la complexité de cette action, et qui se traduit par un énoncé d’équirépartition sur le groupe produit G x G ; il s’agit donc d’un raffinement quadratique des problèmes de Linnik.

Après avoir discuté de la progression de ces idées, j’expliquerai une preuve de la conjecture, conditionnelle sous l’hypothèse de Riemann généralisée, qui fait intervenir un joli assortiment d’objets et techniques en théorie analytique des nombres. Travail en commun avec Valentin Blomer et Ilya Khayutin.

Avril 2022

  • Mardi 12 avril 2022 : Aurel Page (Bordeaux)

Torsion dans l'homologie des variétés isospectrales de Vignéras et opérateurs de Hecke


Le problème de l’existence de variétés isospectrales (c’est-à-dire qui
ont le même spectre pour l’opérateur de Laplace) a été popularisé dans
les années 60 par Mark Kac sous la forme "Peut-on entendre la forme d’un
tambour ?". Une construction de telles variétés en toute dimension au
moins 2 a été proposée dans les années 70 par Marie-France Vignéras en
utilisant des groupes d’unités d’algèbres de quaternions et la formule
des traces de Selberg. On peut raffiner la question en se demandant
quels invariants sont nécessairement identiques pour deux variétés
isospectrales : c’est le cas par exemple de la dimension, du volume et
des nombres de Betti. Ce dernier exemple pose naturellement la question
du groupe de torsion dans l’homologie des variétés ; un analogue
arithmétique est de savoir si deux corps de nombres arithmétiquement
équivalents (qui ont la même fonction zeta de Dedekind) ont
nécessairement des groupes de classes isomorphes. Je présenterai un
travail en commun avec Alex Bartel, dans lequel nous étudions la torsion
dans l’homologie des variétés isospectrales de Vignéras et mettons en
évidence le rôle joué par les opérateurs de Hecke.