Laboratoire de Mathématiques de Besançon - UMR 6623 CNRS
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Séminaire d’Algèbre et Théorie des Nombres

par Armana Cécile, David Agnès - publié le , mis à jour le

  • Le séminaire a lieu le jeudi à 14h en salle 324-2B du bâtiment de Métrologie : plan d’accès.
  • Nous proposons aux orateurs de donner deux exposés de 45 minutes, le premier destiné aux doctorants, le second plus spécialisé. Il est aussi possible de faire un exposé traditionnel d’une heure.
  • Ci-dessous, le programme du séminaire pour l’année 2016-2017. Pour retrouver les exposés des années précédentes : archives.

Exposés à venir :

Janvier 2017

  • Jeudi 19 janvier : Gabor Wiese (Luxembourg)

Sur les représentations galoisiennes des formes modulaires de Hilbert de poids un en caractéristique p


Dans cet exposé, je vais donner les idées principales de mon travail avec Mladen Dimitrov dans lequel nous démontrons que la représentation galoisienne associée à toute forme modulaire de Hilbert de poids un en caractéristique p et de niveau premier à p est non-ramifiée en p. Ce résultat s’applique notamment à des formes qui ne se relèvent pas en caractéristique zéro, et peut être vu comme la précision d’un aspect du poids dans la généralisation de la conjecture de modularité de Serre aux formes de Hilbert.

Mars 2017

  • Jeudi 9 mars : Filippo Nuccio (Saint-Étienne)

Quotients de nombres de classes dans les extensions diédrales et pro-diédrales de Q


Depuis les premiers travaux de Dirichlet sur les extensions biquadratiques de Q, on sait que certains propriétés des représentations entières du groupe de Galois d’une extensions L/Q se reflètent dans des relations entre les nombres de classes des sous-corps de L. Cela a été généralisé par Brauer et Kuroda, qui ont montré dans les années ’50 comment traduire les propriétés en question en termes analytiques, puis en valeurs numériques qui représentent les nombres de classes : et ceci pour une vaste famille de groupes de Galois, mais au prix d’obtenir des relations peu explicites et faisant intervenir des indices d’unités peu maniables. Suite à leurs travaux, on a cherché à rendre les relations qu’ils trouvaient de plus en plus explicites, au moins dans des cas particuliers et on a atteint des résultats plutôt satisfaisants pour les extensions diédrales L/Q d’ordre 2p, avec p premier impair.
Dans ce travail en commun avec Luca Caputo on généralise les dits résultats aux extensions diédrales d’ordre 2p^n, en simplifiant les preuves, en les rendant purement algébriques tout en se débarrassant des indices d’unités, et on les applique à l’étude de la croissance des nombres des classes dans des extensions pro-dihédrales.

  • Jeudi 16 mars : Elisa Lorenzo García (Rennes)

Sur les premiers à mauvaise réduction des courbes de genre 3 avec CM


Avec la méthode de la multiplication complexe on peut produire des courbes sur des corps finis avec un nombre de points donnés. Un point clé est de contrôler les dénominateurs dans les polynômes de classes pour les calculer par évaluation numérique. Pour les courbes de genre 1, les dénominateurs sont triviaux. Pour le cas de genre 2, ils sont calculés par Lauter et Viray : on doit calculer les premiers de mauvaise réduction de certaines courbes de genre 2 avec CM. Pour le cas de genre 3, la situation est beaucoup plus difficile. La première étape est de contrôler les premiers de mauvaise réduction pour les courbes de genre 3 avec CM. Dans cet exposé on montrera comment le faire en suivant des travaux en collaboration : Bouw et al. 2015, et Kilicer et al. 2017.

  • Jeudi 30 mars : Michel Broué (Paris 7)

Systèmes de racines cyclotomiques (travail en commun avec Ruth Corran et Jean Michel)


Pour chaque groupe de réflexions complexe irréductible, pas nécessairement défini sur $\mathbb{Q}$ (ce serait alors un groupe de Weyl) mais défini sur une extension abélienne $K$ de $\mathbb{Q}$ d’anneau des entiers $\mathbb{Z}_{K}$, nous définissons et classifions les $\mathbb{Z}_K$-systèmes de racines, ainsi que les réseaux de racines et de coracines. Apparait alors un fait surprenant : si le groupe de réflexions est "spetsial", l’ordre du groupe est divisible par la factorielle du rang multiplié par l’indice de connexion, et le reste est constitué des mauvais nombres premiers pour le "Spets" correspondant --- exactement comme pour le cas des groupes de Weyl et de leurs groupes réductifs finis.

Avril 2017

  • Mercredi 5 avril : (deux séances exceptionnelles, de 14h à 16h en salle 316B-bis)

Guoniu Han (Strasbourg)

Irrationality exponents and Hankel determinants

Huan Xiong (Strasbourg)

Some new formulas for integer partitions

  • Jeudi 6 avril : (séminaire à 14h30, exceptionnellement) Bouchaïb Sodaïgui (Valenciennes)

Structure de module galoisien d'anneaux d'entiers et codes cycliques

Soient $k$ un corps de nombres, $\Gamma$ un groupe fini et $Cl(O_k[\Gamma])$ le groupe des classes des $O_k[\Gamma]$-modules localement libres. On note $\mathcal{R}(O_k[\Gamma])$ le sous-ensemble de $Cl(O_k[\Gamma])$ formé par les classes d’anneaux d’entiers $O_N$ d’extensions galoisiennes modérées $N/k$, avec $Gal(N/k) \cong \Gamma$ ; $\mathcal{R}(O_k[\Gamma])$ est appelé l’ensemble des classes galoisiennes réalisables. Nous déterminons $\mathcal{R}(O_k[\Gamma])$, et montrons que c’est un sous-groupe de $Cl(O_k[\Gamma])$, au moyen d’une description utilisant un idéal de Stickelberger et des propriétés de certains codes cycliques, lorsque $k$ contient une racine de l’unité d’ordre premier $p$ et $\Gamma=V \rtimes C$, où $V$ est un groupe élémentaire abélien d’ordre $p^r$ et $C$ est un groupe cyclique d’ordre $m>1$ agissant fidèlement sur $V$ et rendant $V$ un $\mathbb{F}_p[C]$-module irréductible. Ceci généralise et raffine des résultats de Byott, Greither et Sodaïgui [J. reine angew. Math., 601, 2006, 1—27] pour $p=2$, respectivement de Bruche et Sodaïgui [J. Number Theory, 128, (2008), 954—978] pour $p>2$, lesquels couvrent seulement le cas $m=p^r-1$ et déterminent seulement l’image $\mathcal{R}(\mathcal{M})$ de $\mathcal{R}(O_k[\Gamma])$ sous l’extension des scalaires de $O_k[\Gamma]$ à un ordre maximal $\mathcal{M} \supset O_k[\Gamma]$ dans $k[\Gamma]$. Le résultat principal ici généralise donc la description de $\mathcal{R}(O_k[A_4])$ pour le groupe alterné $A_4$ de degré 4 (le cas $p=r=2$) donnée par Byott et Sodaïgui dans [Compositio Math. 141, (2005), 573—582].

  • Jeudi 13 avril : Ramla Abdellatif (Amiens)

Extensions entre modules simples de Iwahori-Hecke pour SL(2,F) en caractéristique naturelle


Soit $p$ un entier premier et soit $F$ un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle $p$ et de corps résiduel fini. En caractéristique $p$, les modules de Iwahori-Hecke d’un groupe réductif $p$-adique apparaissent naturellement dans l’étude des représentations lisses de ce groupe comme espaces de vecteurs invariants sous l’action de pro-$p$-sous-groupes d’Iwahori, et leur compréhension peut apporter des informations utiles sur les représentations sus-mentionnées, qui sont encore bien mal comprises.
Les travaux présentés dans cet exposé s’intéressent plus spécifiquement au cas du groupe spécial linéaire de rang 1. Dans une première partie, nous expliquerons plus précisément les motivations qui les sous-tendent, et rappellerons quelques résultats de classification des modules simples de Iwahori-Hecke de $\mathrm{SL}_2 (F)$. Dans une seconde partie, nous présenterons quelques résultats concernant la compréhension de leurs espaces d’extensions et leurs liens avec la théoriedes représentations modulo $p$ de $\mathrm{SL}_2 (F)$.

Mai 2017

  • Jeudi 4 mai : Philippe et Pierrette Cassou-Noguès (Bordeaux) (deux exposés)

Philippe Cassou-Noguès : G-formes, twists et périodes


Soit $K$ un corps de caractéristique différente de 2 et $G$ un schéma en groupes sur $K$. On peut associer par ”twistage” à toute $G$-forme $q$ et à tout $G$-torseur $T$ une forme $q_T$ de rang égal à celui de $q$. On donnera des formules de comparaison des invariants de Hasse-Witt de ces formes. On appliquera ces formules à l’étude de la forme trace de $L/K$ lorsque $G$ est un schéma en groupes constant et $T$ est associé à une $G$-algèbre galoisienne $L/K$. Plus généralement on comparera les invariants de Hasse-Witt des différentes réalisations d’un objet quadratique d’une catégorie tannakienne. On traitera l’exemple des motifs de Nori. Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec T. Chinburg, B. Morin et M.J. Taylor.

Pierrette Cassou-Noguès : Fibre de Milnor motivique et algorithme de Newton


Après avoir rappellé la définition de la fibre de Milnor motivique introduite par Denef et Loeser, nous donnerons les idées principales pour la calculer à l’aide de l’algorithme de Newton et nous appliquerons le résultat pour généraliser un théorème de Kouchnirenko.

  • Jeudi 11 mai : Bora Yalkinoglu (Strasbourg)

Sur l’analogue elliptique d’une conjecture de Shintani


Dans l’exposé on va expliquer une conjecture ouverte de Shintani qui prédit un lien entre certains valeurs spéciales de la fonction gamma hyperbolique et des extensions abéliennes d’un corps réel quadratique. Ensuite on va expliquer comment la fonction gamma elliptique et l’équation de Yang-Baxter apparaissent naturellement dans la variante elliptique de la conjecture de Shintani, qui concerne la théorie classique de la multiplication complexe pour les corps imaginaires quadratiques et indiquer l’intérêt de cette observation pour le cas d’un corps réel quadratique.

Juin 2017

  • Jeudi 1er juin : Jean Gillibert (Toulouse)

Surfaces elliptiques et jacobiennes de courbes trigonales


On considère une fibration elliptique E sur la droite projective sur un corps k. Si p est un nombre premier, les points d’ordre p de E sont paramétrés par une courbe C munie d’un morphisme de degré p^2-1 vers P^1_k. Nous montrons comment on peut, grâce à la théorie de Kummer, spécialiser les sections de E dans la p-torsion de la jacobienne de C.
Cela permet de construire des courbes dont la jacobienne a beaucoup de p-torsion à partir de courbes elliptiques de grand rang sur k(t).
Une autre conséquence est de fournir une borne sur le rang de E(k(t)), qui est équivalente à celle donnée par l’inégalité d’Igusa quand k est algébriquement clos. Il s’agit d’un travail en commun avec Aaron Levin (MSU).

Archives :

Septembre 2016

  • Mardi 20 septembre à 15h, salle 324-2B : Ibrahim Abdoulkarim (LMB)

Sur la conjecture de Collatz

  • Jeudi 29 septembre : Victoria Cantoral-Farfan (Paris)

Torsion pour les variétés abéliennes de type III

Le théorème de Mordell-Weil affirme que pour toute variété abélienne $A$ définie sur un corps de nombres $K$ le groupe des points $K$-rationnels est de type fini, i.e. $A(K)=A(K)_{\mathrm{tors}}\times \mathbb{Z}^r$, où $A(K)_{\mathrm{tors}}$ correspond au sous-groupe fini des points de torsion définis sur $K$.
C’est naturel de se demander si on peut obtenir une borne uniforme pour $|A(L)_{\mathrm{tors}}|$, dépendant uniquement du degré $[L:K]$, lorsque la variété abélienne $A$ varie. Cette question est connue comme la conjecture de la borne uniforme. En ce qui concerne les courbes elliptiques définies sur un corps de nombres $K$, Merel a prouvé en 1994 que l’on peut en effet obtenir une borne uniforme en utilisant des méthodes développées par Mazur et Kamienny.

Cependant il est naturel de se demander si l’on peut obtenir une borne de $|A(L)_{\mathrm{tors}}|$ qui dépend uniquement du degré $[L:K]$ lorsque l’extension $L/K$ varie et la variété abélienne $A$ est fixée. Dans cette direction Marc Hindry et Nicolas Ratazzi ont énoncé plusieurs résultats concernant certaines classes de variétés abéliennes, en particulier leurs résultats fournissent une borne optimale.

L’objectif de cet exposé, divisé en deux parties, sera de vous présenter des nouveaux résultats dans cette direction. On se concentrera sur la classe de variétés abéliennes de type III pleinement de type Lefschetz (i.e. telle que son groupe de Mumford-Tate soit le groupe des similitudes orthogonales qui commute avec les endomorphismes et telle qu’elle vérifie la conjecture de Mumford-Tate). Après avoir détaillé le problème on présentera une esquisse de preuve.

Octobre 2016

  • Jeudi 13 octobre : Richard Griffon (Leiden)

Un analogue du théorème de Brauer-Siegel pour les courbes elliptiques de Legendre sur F_q(t)

Le théorème de Brauer-Siegel classique donne un encadrement du produit du régulateur par le nombre de classes d’un corps de nombres, en termes de son discriminant. Cet encadrement peut être vu comme une quantification de la "complexité arithmétique" des corps de nombres.

Si maintenant on considère une courbe elliptique E définie sur un corps global K : en supposant que son groupe de Tate-Shafarevich est fini, on peut former le produit de l’ordre de ce groupe par le régulateur de Néron-Tate de E. De façon vague, ce produit quantifie la complexité du calcul du groupe de Mordell-Weil de E sur K. Il serait donc intéressant de trouver un bon encadrement de cette quantité en termes d’invariants simples de E, par exemple sa hauteur. En d’autres termes, on aimerait démontrer un analogue du théorème de Brauer-Siegel pour les courbes elliptiques. Pour certains exemples explicites de courbes elliptiques, il est possible de démontrer un tel analogue.

Dans la première partie de cet exposé, j’introduirai plus en détails ce problème, ses motivations et les objets considérés (en me concentrant surtout sur le cas où K est un corps de fonctions en caractéristique p). Je présenterai également mes résultats concernant la famille des courbes elliptiques de Legendre. Dans la seconde partie, j’esquisserai quelques éléments de preuve de ces résultats.

  • Jeudi 20 octobre : Lucile Devin (Orsay)

Sur la classe de congruence modulo p du nombre de Fp-points d'une variété

Étant donné $X$ un schéma de type fini sur $\mathbb{Z}$, à tout premier $p$ on associe $N(X,p)$ le nombre de $\mathbb{F}_{p}$-points du schéma $X/\mathbb{F}_{p}$. On s’intéresse à l’ensemble des nombres premiers $p$ tels que $p$ ne divise pas $N(X,p)-a$. En utilisant un résultat de Serre, dans le cas où la dimension de $X$ est petite (inférieure à 3), on donnera un critère simple pour assurer que cet ensemble ait une densité-inférieure strictement positive. On s’intéressera aussi au plus petit élément de cet ensemble. Grâce à des méthodes de crible, on montrera comment majorer pour la plupart des courbes dans une famille le plus petit élément de l’ensemble correspondant.

Novembre 2016

  • Jeudi 3 novembre : Pierre Charollois (Paris)

Méthode sommatoire d'Eisenstein et cocycles pour GL_n

Nous expliquerons comment la méthode sommatoire d’Eisenstein, telle qu’exposée dans le livre d’André Weil, permet de construire des cocycles pour le groupe $\mathrm{GL}_n$. Dans la première partie de l’exposé, on verra que les identités obtenues mettent en jeu des séries génératrices des nombres de Bernoulli, et se prêtent à l’interpolation p-adique. Dans la deuxième partie de l’exposé, on introduira une q-déformation des résultats précédents. Une famille de formes modulaires apparaît alors naturellement, ce qui nous amène à plusieurs problèmes ouverts.

  • Jeudi 10 novembre : Fabien Pazuki (Copenhague)

Hauteur, mauvaise réduction et rang des variétés abéliennes sur les corps de nombres

Soit $A$ une variété abélienne sur un corps de nombres $K$. On s’intéresse au groupe des points rationnels $A(K)$, dont le rang est fini par le théorème de Mordell-Weil. On montre comment majorer explicitement le rang de $A(K)$ par la hauteur de $A$. La preuve passe par une nouvelle inégalité entre hauteur et places de mauvaise réduction. On détaillera la stratégie de preuve de cette dernière inégalité, qui repose sur une réduction de l’argument au cas des variétés jacobiennes, un théorème de Bertini explicite et l’existence de tours non-ramifiées au dessus de certains corps quadratiques.

  • Jeudi 17 novembre : Christophe Breuil (Orsay)

La conjecture de multiplicité : de la théorie modulo p à la théorie localement analytique


En première approche, la conjecture de multiplicité prévoit une injection entre l’ensemble des composantes irréductibles de certains anneaux locaux et l’ensemble des constituants irréductibles de certaines représentations de groupes, injection préservant les multiplicités des deux côtés.

Dans la première partie de l’exposé, j’énoncerai cette conjecture dans son cadre initial où les anneaux locaux sont la fibre spéciale des anneaux de déformations galoisiennes locales issus de la théorie de Hodge p-adique, et où les représentations sont les semi-simplifiées modulo p des types de Bushnell-Kutzko (des représentations de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p))$. Puis je ferai brièvement le point sur ce qui est connu.

Dans la deuxième partie, j’énoncerai une variante récente en caractéristique $0$ de cette conjecture, due à E. Hellmann, B. Schraen et l’orateur, où les anneaux locaux sont les fibres pour l’application poids des anneaux locaux de la variété (rigide analytique) trianguline et où les représentations sont les semi-simplifiées des séries principales localement analytiques de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p))$. Cette variante est un théorème dans le cas cristallin, et si le temps le permet j’expliquerai la stratégie de preuve.

  • Jeudi 24 novembre : Teddy Mignot (Lyon)

Points de hauteur bornée sur les hypersurfaces de certaines variétés toriques

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