Laboratoire de Mathématiques de Besançon - UMR 6623 CNRS
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Proposition de sujet de thèse / PHD proposal

par Dupré Emilie - publié le , mis à jour le

 

Intitulé : Modèles réduits et apprentissage pour des problèmes aux valeurs propres issus du calcul de structure électronique.

Mots-clés : Analyse numérique, bases réduites, analyse a posteriori, estimations goal-oriented, calcul de structure électronique, modèles de liaisons fortes, théorie de la fonctionnelle de la densité

Encadrement de la thèse : Geneviève Dusson & Alexei Lozinski (Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université Bourgogne Franche-Comté, France)

La thèse pourra commencer entre octobre 2020 et janvier 2021 et sera effectuée au Laboratoire de Mathématiques de Besançon.

 

RESUME DU SUJET

Pour simuler des systèmes moléculaires et calculer leurs propriétés physiques, il est commun d’utiliser des modèles permettant de calculer la structure électronique du système, c’est-à-dire le comportement des électrons, étant donné la position des noyaux. Ces modèles nécessitent de résoudre des équations aux dérivées partielles non linéaires, et aux valeurs propres, comme les équations de Hartree-Fock, ou les équations provenant de la théorie de la fonctionnelle de la densité. De tels calculs sont à la base des simulations de dynamique moléculaire, où ils sont répétés pour un grand nombre de configurations des particules, ce qui requiert un temps de calcul important. Il existe des modèles réduits qui permettent de grandement diminuer le temps de calcul, mais ceux-ci conduisent en général à une détérioration de la précision, qui peut être difficile à contrôler.

L’objectif de cette thèse est donc de développer des modèles réduits permettant de garder un contrôle sur la qualité des approximations faites. L’intérêt sera en particulier porté sur le cas où les équations sont résolues de nombreuses fois pour différents paramètres. La thèse sera consacrée à l’analyse numérique des modèles réduits, au développement de bornes d’erreur, ainsi qu’à la mise en oeuvre numérique de ces modèles pour tester leur qualité.

Une première approche pourra consister à réaliser un modèle linéaire de l’opérateur non-linéaire grâce à des méthodes d’interpolation ou d’apprentissage, en se basant par exemple sur [Van der Oord, Dusson, Csányi, Ortner, Machine Learning : Science and Technology, 1 (2020)] et [Dusson, Bachmayr, Csányi, Drautz, Etter, van der Oord, Ortner, arxiv 1911.03550]. Une deuxième approche sera de partir de modèles réduits linéaires existants, comme des modèles de type liaisons fortes, et de les améliorer grâce à la résolution de quelques problèmes non-linéaires, en s’inspirant par exemple de la méthode présentée dans l’article [Maday, Patera, Penn, Yano, ESAIM : Proceedings and Surveys, 50, 144-168 (2015)]. Enfin, on s’intéressera à la prédiction de quantités d’intérêt spécifiques, comme l’énergie du système, et on tâchera d’estimer la qualité des approximations, à la fois dans un contexte de modèle réduit et d’apprentissage, afin de garantir la qualité des approximations et/ou de l’apprentissage réalisé.

FORMATION RECOMMANDEE

Un master en mathématiques appliquées est attendu. Le candidat retenu aura une solide expérience en méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles. Des compétences en programmation (par exemple Julia, Python, C++) seront également appréciées.

INFORMATIONS PRATIQUES CONCERNANT LES CANDIDATURES

Des informations supplémentaires peuvent être demandées par email à Geneviève Dusson (genevieve.dusson@math.cnrs.fr) et Alexei Lozinski (alexei.lozinski@math.cnrs.fr).
Les candidats sont priés d’envoyer un email contenant un CV ainsi qu’une lettre de motivation à genevieve.dusson@math.cnrs.fr ainsi que alexei.lozinski@math.cnrs.fr.

Date limite de candidature : 27 mai 2020

 
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Title : Reduced models and machine learning for eigenvalue problems arising in electronic structure calculation.

Key-words : Numerical analysis, reduced bases, a posteriori analysis, goal-oriented estimates, electronic structure calculation, tight-binding models, density functional theory

Thesis supervision : Geneviève Dusson & Alexei Lozinski (Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université Bourgogne Franche-Comté, France)

The thesis is expected to start between October 2020 and January 2021 and will be carried out at the Laboratoire de Mathématiques de Besançon.

SUMMARY

To simulate molecular systems and compute their physical properties, it is common to use electronic structure models, which predict the behavior of electrons given the nuclei positions. These models require to solve eigenvalue and nonlinear partial differential equations, such as the Hartree-Fock equations, or equations coming from the density functional theory. Such calculations are at the basis of molecular dynamics simulations, where they are repeated for a large number of particle configurations, which requires significant calculation time. There exists simplified models which allow to reduce the computational time, at the expense of a loss in precision, which can be difficult to control.

The objective of this thesis is therefore to develop reduced models allowing to keep track of the quality of the approximations. The thesis will be particularly focused on the case where the equations are solved many times for different parameters. The thesis will be devoted to the numerical analysis of reduced models, to the development of error bounds, as well as the implementation of these models to test their quality.

A first approach will consist in developping a linearization of the non-linear operator using interpolation or learning methods, based for example on [Van der Oord, Dusson, Csányi, Ortner, Machine Learning : Science and Technology, 1 (2020)] and [Dusson, Bachmayr, Csányi, Drautz, Etter, van der Oord, Ortner, arxiv 1911.03550]. A second approach will be to start from linear reduced models such as tight-binding models, and to improve them with the resolution of a few non-linear problems, based for example on the method presented in [Maday , Patera, Penn, Yano, ESAIM : Proceedings and Surveys, 50, 144-168 (2015)]. Finally, we will be interested in the prediction of specfic quantities of interest, like the energy of the system, and we will try to estimate the quality of the approximations, both in a context of reduced modelling and learning, in order to guarantee the quality of the approximations and / or the machine learning.

EXPECTED SKILLS

A master’s degree in applied mathematics is expected. The successful candidate will have solid experience in numerical methods for partial differential equations. Programming skills (e.g. Julia, Python, C ++) will also be appreciated.

INFORMATION REGARDING THE APPLICATION

Additional information can be requested by email to Geneviève Dusson (genevieve.dusson@math.cnrs.fr) and Alexei Lozinski (alexei.lozinski@math.cnrs.fr).
Applicants are requested to send an email containing a CV and a cover letter to
genevieve.dusson@math.cnrs.fr as well as alexei.lozinski@math.cnrs.fr.

Deadline for application : May 27, 2020

 
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