Laboratoire de Mathématiques de Besançon - UMR 6623 CNRS
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Archives 2019-2020

par Alexei Lozinski - publié le

  • Mercredi 2 octobre 2019, à 15h : Daniele Di Pietro (Univ. Montpellier)
    Hybrid High-Order methods for poroelasticity
    Originally introduced in [1], Hybrid High-Order (HHO) methods provide a framework for the discretisation of PDE problems with features that set it apart from traditional ones : the support of polytopal meshes and arbitrary approximation orders in any space dimension ; an enhanced compliance with the physics ; a reduced computational cost thanks to the compact stencil along with the possibility to locally eliminate a large portion of the unknowns. In this presentation after establishing the setting for HHO methods on a model elasticity problem [2,3], we study their applications to the poroelasticity problem [4-6]. In this context, HHO methods have additional appealing features, namely : they satisfy an inf-sup stable condition on general meshes, resulting in robust L2 estimates for the pore pressure ; they are robust with respect to the physical variations of the model parameters (Lamé coefficients, permeability) ; they satisfy local momentum and mass balances inside each element with equilibrated interface fluxes. Quasi-optimal error estimates are established for both linear and nonlinear mechanical laws under mild regularity assumptions on the exact solution. A thorough numerical validation is provided both to confirm the theoretical results and to assess the method in more physical configurations.

    [1] D. A. Di Pietro and A. Ern, A hybrid high-order locking-free method for linear elasticity on general meshes, Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg., 2015, 283:1–21. DOI : 10.1016/j.cma.2014.09.009
    [2] M. Botti, D. A. Di Pietro, and P. Sochala, A Hybrid High-Order method for nonlinear elasticity, SIAM J. Numer. Anal., 2017, 55(6):2687–2717. DOI : 10.1137/16M1105943
    [3] M. Botti, D. A. Di Pietro, and A. Guglielmana, A low-order nonconforming method for linear elasticity on general meshes, Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg., 2019, 354:96–118. DOI : 10.1016/j.cma.2019.05.031
    [4] D. Boffi, M. Botti, and D. A. Di Pietro, A nonconforming high-order method for the Biot problem on general meshes, SIAM J. Sci. Comput., 2016, 38(3):A1508–A1537. DOI : 10.1137/15M1025505
    [5] M. Botti, D. A. Di Pietro, and P. Sochala, A Hybrid High-Order discretisation method for nonlinear poroelasticity, Comput. Meth. Appl. Math., 2019. Published online. DOI : 10.1515/cmam-2018-0142
    [6] M. Botti, D. A. Di Pietro, O. Le Maître, and P. Sochala, Numerical approximation of poroelasticity with random coefficients using Polynomial Chaos and Hybrid High-Order methods, HAL preprint hal-02081647, arXiv preprint arXiv:1903.11885, March 2019

  • Mercredi 15 janvier 2020 : Virginie Ehrlacher (CERMICS - ENPC)
    Moment constrained optimal transport problem : application to quantum chemistry
    (joint work with A. Alfonsi, R. Coyaud and D. Lombardi)

    The aim of this talk is to present some recent results on a relaxation of multi-marginal Kantorovich optimal transport problems with a view to the design of numerical schemes to approximate the exact optimal transport problem. More precisely, the approximate problem considered in this talk consists in relaxing the marginal constraints into a finite number of moment constraints, while the state space remains unchanged (typically a subset of R^d for some positive integer d). Using Tchakhaloff’s theorem, it is possible to prove the existence of minimizers of this relaxed problem and characterize them as discrete measures charging a number of points which scales at most linearly with the number of marginals in the problem. In the particular case of a symmetric multi-marginal problem, like the Coulomb cost optimal transport problem which is the semi-classical limit of the Lévy-Lieb functional [1], the number of points charged by minimizers is independent of the number of electrons, thus avoiding the curse of dimensionality. This result is strongly linked to the work [2] and opens the way to the design of new numerical schemes exploiting the structure of these minimizers. Some preliminary numerical results exploiting this structure will be presented.

    [1] COTAR, Codina, FRIESECKE, Gero, et KLÜPPELBERG, Claudia. Smoothing of transport plans with fixed marginals and rigorous semiclassical limit of the Hohenberg–Kohn functional. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 2018, vol. 228, no 3,, p.891-922.
    [2] FRIESECKE, Gero et VÖGLER, Daniela. Breaking the curse of dimension in multi-marginal kantorovich optimal transport on finite state spaces. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2018, vol. 50, no 4, p. 3996-4019.

  • Jeudi 23 janvier 2020 : Laurent BOUDIN (LJLL - Sorbonne Université)
    Méthode de moments pour un modèle cinétique de mélange gazeux
    Je commencerai par quelques considérations sur l’équation de Boltzmann pour les mélanges. Puis je reviendrai sur deux applications de la méthode de moments de Levermore, notamment pour discrétiser cette équation de Boltzmann dans l’asymptotique diffusive. C’est un travail en collaboration avec Andrea Bondesan et Bérénice Grec.
  • Jeudi 30 janvier 2020 : Ludovic CHAMOIN (LMT - ENS Cachan)
    Certification et adaptation des calculs en mécanique des structures : application aux calculs multi-échelles et à la réduction de modèle
    Afin d’assurer la fiabilité des simulations numériques, il est crucial de contrôler les divers modèles et méthodes qui sont employées. Cette thématique de recherche, appelée Vérification des modèles et largement étudiée dans le cadre de la méthode des éléments finis, reste cependant mise en œuvre trop rarement dans les applications industrielles du fait de sa complexité (contrôle de modèles souvent complexes avec de nombreux paramètres numériques). Cependant, le rôle principal d’une simulation n’est généralement pas d’accéder à la solution globale du problème, mais simplement à des caractéristiques locales (quantités d’intérêt) utilisées par les chercheurs et ingénieurs pour la prise de décision. Il est alors pertinent et intéressant et mettre en place une approche de vérification partielle (dite goal-oriented) dédiée au contrôle de la précision numérique sur des quantités d’intérêt et associée à une procédure simplifiée.
    Dans cet exposé, cette approche sera montrée en lien avec le concept d’erreur en relation de comportement, basé sur des notions de dualité et convexité. L’approche sera illustrée en ciblant deux thèmes impliquant des modèles multi-paramétrés complexes : (i) le contrôle des modèles multi-échelles traités par l’approche MsFEM ou par un couplage de modèles ; (ii) le contrôle des modèles réduits obtenus par la technique PGD (Proper Generalized Decomposition).
  • Jeudi 6 février 2020 : Carlo MARCATI (ETH Zürich)
    Weighted analytic regularity of Schrödinger-type problems and Quantized Tensor Train approximation
    Many problems in quantum chemistry (and beyond) have solutions that are not regular in a classical sense. This is the case, for example, of the computation of electronic wave functions in full-electron models—where the Coulomb interaction between charged particles gives rise to cusps in the solution. We often can, nonetheless, show that these functions belong to a class of analytic-type weighted Sobolev spaces, with isolated point singularities. This has many relevant consequences on the numerical approximation of such problems, both for linear and nonlinear techniques.
    In this talk, we discuss how to obtain weighted analytic estimates on the solutions of linear and nonlinear Schrödinger-type problems, drawing a bridge with the theory of elliptic regularity in polyhedral domains. We also explore the approximability of the wave functions, with a focus on the Quantized Tensor Train (QTT) approximation. This nonlinear techniques, based on tensor compression, have recently gained wide popularity both in data analysis and scientific computing. In our case, we will see how QTT representations provide exponentially convergent approximations by exploiting the inherently low-rank structure of the wave functions.
  • Jeudi 13 février 2020 : Nicolae CINDEA (Université Clermont Auvergne)
    Modélisation des échanges chimiques en hémodialyse
    Le but de cet exposé est de présenter un modèle pour les échanges chimiques ayant lieu pendant une session de hémodialyse. Ce modèle, proposé dans un travail récent en collaboration avec Julien Aniort et Laurent Chupin, a deux parties. La première partie décrit l’écoulement du sang et du fluide de dialyse à l’intérieur d’une fibre faisant partie d’un filtre de dialyse. Cette première partie du modèle a été obtenue par un calcul asymptotique prenant en compte l’anisotropie de cette fibre. La deuxième partie du modèle décrit l’évolution de plusieurs composantes chimiques présentes dans ces fluides. Les deux parties sont fortement couplées. Plus précisément, le champs de vitesse des fluides intervient dans le terme convectif du système de réaction-diffusion-convéction donnant les concentrations des espèces chimiques étudiées et ces concentrations exercent une pression osmotique influençant l’écoulement des fluides.
    Plusieurs simulations numériques ont été réalisées dans le but d’estimer la concentration en Calcium dans le sang du patient à la fin d’une session de hémodialyse. Nous allons discuter la mise en oeuvre de ces simulations, les difficultés techniques rencontrées et les solutions que nous avons proposé.
  • Jeudi 5 mars 2020 : Youcef MAMMERI (Université de Picardie)
    Du phloème au paysage : quelques problèmes de modélisation continue des plantes
    Je présenterai quelques résultats concernant la modélisation du développement des plantes dans leur environnement. En partant d’un nouveau modèle de distribution de sucrose dans les arbres, nous arriverons à la propagation de ravageurs (végétales puis animales) dans des paysages agricoles. Mon propos sera centré sur des systèmes continus de type advection-réaction-diffusion.
  • Jeudi 12 mars 2020 : Paul VIGNEAUX (ENS de Lyon, UMPA et INRIA)
    Méthodes SAEM et estimation de paramètres pour les EDP, illustrations en biologie
    L’estimation des paramètres dans les modèles non linéaires à effets mixtes nécessite un grand nombre d’évaluations du modèle à étudier. Pour les équations différentielles ordinaires, le temps de calcul global reste raisonnable. Cependant, lorsque le modèle lui-même est plus complexe (par exemple lorsqu’il s’agit d’équations aux dérivées partielles (EDP)), il peut être long de l’évaluer pour un seul ensemble de paramètres. Les procédures bayésiennes d’estimation de paramètres de la population (par exemple en utilisant les algorithmes SAEM) sont alors très longues et dans certains cas impossibles à réaliser dans un délai raisonnable. Dans cet exposé, nous présentons deux variantes de la méthode SAEM en conjonction avec les EDP : l’une est basée sur la construction d’une grille hors ligne utilisée pour approximer le modèle (appelée métamodèle) et l’autre implique un raffinement dynamique (en utilisant une approche de krigeage) du métamodèle le long des itérations de SAEM. Ces méthodes sont illustrées en biologie sur l’équation classique de KPP et sur une équation de renouvellement. Travaux en collaboration avec E. Grenier, C. Helbert, V. Louvet et A. Samson.
  • Mardi 31 mars 2020, 16h : Stéphane BRULL (Université Bordeaux)
    Une approximation de la fermeture M2 pour un problème issu de la radiothérapie
    Le transport des particules en radiothérapie peut être modélisé par une équation cinétique. Malheureusement, la simulation numérique de telles équations est généralement trop coûteuse pour des applications dans des cas concrets. Ainsi les modèles basés sur les moments angulaires fournissent un bon compromis entre les modèles cinétiques et modèles fluides. En outre, ces modèles aux moments requièrent le calcul d’une fermeture car ils possèdent plus d’inconnues que d’équations. Dans le cas présent, nous considérerons une fermeture entropique basée sur un principe de minimisation d’entropie sous contraintes. Cependant le calcul effectif de cette fermeture peut s’avérer très coûteux au niveau du temps de calcul. C’est pour cela que l’on a développé une approximation de la fermeture pour les 2 premiers modèles de la hiérarchie : le modèle M1 et le modèle M2. En particulier, le modèle M2 améliore significativement la précision du modèle M1 pour le calcul de la dose en radiothérapie.
  • Vendredi 3 avril 2020, 10h : Ingrid LACROIX-VIOLET (Université de Lille)
    Méthodes linéairement implicites pour des équations d’évolution
    Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle classe de méthodes numériques pour l’intégration en temps d’équations d’évolution. La construction systématique de ces méthodes mélange le formalisme des méthodes bien connues de Runge-Kutta avec les techniques des méthodes de collocation. On obtient ainsi des méthodes numériques d’ordre élevé linéairement implicites : à chaque étape seule la résolution d’un système linéaire est nécessaire.
  • Mardi 7 avril 2020, 16h30 : Elijah Van Houten (The University of Sherbrooke)
    MR Elastography by nonlinear inversion : a subdomain decomposition approach
    Résumé dans le pdf